Álgebra (71) · Unidad 3 — Espacios vectoriales
Bases y dimensión
Una base es un conjunto de generadores sin nada de más: genera y es linealmente independiente. Dos bases de S siempre traen tantos vectores una como la otra, y esa cantidad es la dimensión. Se saca resolviendo las ecuaciones o triangulando los generadores.
La explicación
Base
Un conjunto B = {v₁, …, v_r} es una base de un subespacio S si cumple dos cosas:
2) es linealmente independiente
Una base alcanza justo para armar todo S: si le sacás un vector deja de generar, y si le agregás uno, ése sobra. Por eso, si B es base, cada vector de S se escribe de una única manera como combinación de B. Esos coeficientes son las coordenadas del vector en la base B (es lo que muestra el dibujo, en ℝ²).
La base canónica de ℝⁿ es la de los vectores (1, 0, …, 0), (0, 1, 0, …, 0), …, (0, …, 0, 1): en ella las coordenadas son las de siempre.
Dimensión
Todas las bases de S traen la misma cantidad de vectores, aunque sean vectores distintos. Esa cantidad es la dimensión, dim S. Así, dim ℝ² = 2, dim ℝ³ = 3, dim ℝⁿ = n; una recta por el origen tiene dimensión 1 y un plano por el origen, dimensión 2. El subespacio {0} tiene dimensión 0.
Conocer la dimensión ahorra trabajo: si dim S = r, r vectores de S que sean l.i. ya son base (no hace falta probar que generan), y r vectores que generen S también son base. En particular, tres vectores l.i. de ℝ³ son siempre una base de ℝ³, y dos nunca lo son.
Base de un subespacio dado por ecuaciones
2. Escribí el vector genérico en forma paramétrica y separalo por variable libre.
3. Los vectores que acompañan a cada variable libre forman una base.
4. dim S = cantidad de variables libres = n − (cantidad de ecuaciones independientes).
Por eso una ecuación en ℝ³ da un plano (dim 3 − 1 = 2), dos ecuaciones independientes en ℝ³ dan una recta (dim 1), y una ecuación en ℝ⁴ da un subespacio de dimensión 3.
Base de un subespacio dado por generadores
Los generadores ya generan; lo que falta es sacar los que sobran. Se ponen como filas y se triangula: las filas no nulas que quedan son una base, y su cantidad es la dimensión. También sirve quedarse con los generadores originales que no se anularon, siempre que sean tantos como la dimensión y l.i.
¿B es base de S?
2. Fijate que B tenga exactamente dim S vectores (si no, no es base, y terminaste).
3. Fijate que cada vector de B esté en S (reemplazando en las ecuaciones, o como combinación de los generadores).
4. Fijate que B sea l.i. Con 1, 2 y 3 bien, eso alcanza.
Un subespacio tiene infinitas bases. Si {u, v} es base, también lo son {2u, v}, {u + v, u − v} y cualquier par de vectores l.i. de S. Por eso «hallar dos bases distintas» es tomar una y cambiarla un poco.
El control que conviene hacer siempre
Reemplazá cada vector de la base que diste en las ecuaciones de S: todos tienen que cumplirlas. Y contá: los vectores de la base tienen que ser tantos como las variables libres.
a) Hallar una base y la dimensión de S = {x ∈ ℝ⁴ / x₁ − x₂ + 2x₃ = 0, x₂ + x₄ = 0}. b) Hallar una base y la dimensión de T = ⟨(1, 2, −1), (2, 1, 1), (3, 3, 0)⟩.
a) El sistema ya está escalonado. De la segunda ecuación, x₄ = −x₂; de la primera, x₁ = x₂ − 2x₃. Las libres son x₂ y x₃:
= x₂(1, 1, 0, −1) + x₃(−2, 0, 1, 0)
Una base de S es {(1, 1, 0, −1), (−2, 0, 1, 0)} y dim S = 2 (dos variables libres: 4 incógnitas menos 2 ecuaciones).
Control: (1, 1, 0, −1) da 1 − 1 + 0 = 0 y 1 − 1 = 0 ✔; (−2, 0, 1, 0) da −2 − 0 + 2 = 0 y 0 + 0 = 0 ✔. Son l.i. porque cada uno tiene un número donde el otro tiene 0 (en la segunda y en la tercera coordenada).
b) Los generadores como filas:
( 2 1 1 ) F₂ − 2F₁ → ( 0 −3 3 )
( 3 3 0 ) F₃ − 3F₁ → ( 0 −3 3 )
Las dos filas nuevas son iguales, y restándolas la tercera se anula. Quedan dos filas no nulas: dim T = 2, y una base es {(1, 2, −1), (0, −3, 3)}. Como (0, −3, 3) = −3·(0, 1, −1), también es base {(1, 2, −1), (0, 1, −1)}, con números más chicos. Y como son dos vectores l.i. de T, sirven igual los dos primeros generadores: {(1, 2, −1), (2, 1, 1)}.
Dónde se pierde el punto: en b), dar los tres generadores como base. (3, 3, 0) es la suma de los otros dos, así que no son l.i.: un plano no tiene bases de tres vectores.
Sea S = ⟨(1, 2, 0, −1), (2, 1, 1, 0), (1, −1, 1, 1)⟩ ⊂ ℝ⁴. a) Hallar una base y la dimensión de S. b) Decidir si B = {(3, 3, 1, −1), (−1, 1, −1, −1)} es otra base de S. c) Dar un vector de ℝ⁴ que no pertenezca a S.
a) Como filas:
( 2 1 1 0 ) F₂ − 2F₁ → ( 0 −3 1 2 )
( 1 −1 1 1 ) F₃ − F₁ → ( 0 −3 1 2 )
La tercera fila, restándole la segunda, se anula: el tercer generador sobra (es v₂ − v₁). dim S = 2, con base {(1, 2, 0, −1), (2, 1, 1, 0)}.
b) B tiene dos vectores, los mismos que la dimensión. ¿Están en S? (3, 3, 1, −1) = v₁ + v₂ y (−1, 1, −1, −1) = v₁ − v₂, así que sí. ¿Son l.i.? No son colineales (para pasar de uno al otro, la primera coordenada pide multiplicar por −3 y la segunda por 3). Entonces B es una base de S.
c) Un vector de S es a(1, 2, 0, −1) + b(2, 1, 1, 0) = (a + 2b, 2a + b, b, −a). Para (0, 0, 0, 1): la tercera coordenada da b = 0 y la cuarta a = −1; pero entonces la primera sería −1 ≠ 0. (0, 0, 0, 1) ∉ S.
Control: v₂ − v₁ = (2, 1, 1, 0) − (1, 2, 0, −1) = (1, −1, 1, 1) = v₃ ✔, lo que confirma que S es un plano de ℝ⁴ y no algo de dimensión 3.
Dónde se pierde el punto: en b), rechazar B porque «no son los generadores». Una base no tiene que salir de los generadores: alcanza con que sean dim S vectores de S, l.i.
Dónde se cae la mayoría
- Decir que dos vectores l.i. de ℝ³ son una base de ℝ³: generan un plano, hacen falta tres.
- Olvidarse de verificar que los vectores de B estén en S: dos vectores l.i. cualesquiera no son base de un plano que no los contiene.
- Contar la dimensión como la cantidad de ecuaciones en vez de la cantidad de variables libres.
- Dar como base todos los generadores sin sacar los que sobran: si uno es combinación de los otros, no son l.i.
- Creer que la base es única y rechazar otra correcta: cualquier conjunto l.i. de S con dim S vectores sirve.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Bases y dimensión →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — Tres generadores que alcanzan con dos25 puntos · resuelto paso a paso
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