Álgebra (71) · Unidad 3 — Espacios vectoriales
Espacios vectoriales y combinaciones lineales
Un espacio vectorial es un conjunto donde se puede sumar y multiplicar por números con las reglas de siempre. Preguntar si un vector es combinación lineal de otros es preguntar si un sistema tiene solución: se igualan las coordenadas y se resuelve.
La explicación
Qué es un espacio vectorial
Hasta acá trabajaste con puntos de ℝ² y ℝ³: se suman coordenada a coordenada y se multiplican por un número (un escalar) multiplicando cada coordenada. Un espacio vectorial real es cualquier conjunto V donde hay una suma y un producto por escalares que se comportan exactamente así. A sus elementos se los llama vectores, aunque no sean flechas.
La práctica da ocho propiedades. No hace falta memorizarlas en orden, pero sí entender qué dicen, porque son las que usás sin pensar cuando hacés cuentas:
Hay un neutro, el vector nulo 0: 0 + v = v.
Cada v tiene su opuesto −v: v + (−v) = 0.
El producto por escalares cumple 1·v = v, (λμ)·v = λ·(μ·v) y las dos distributivas: λ(u + v) = λu + λv, (λ + μ)v = λv + μv.
Los ejemplos que vas a usar en toda la materia son dos: ℝⁿ, las n-uplas de números (en ℝ⁵, por ejemplo, 2·(1, 0, −1, 3, 2) = (2, 0, −2, 6, 4)), y ℝm×n, las matrices de m filas y n columnas, que se suman lugar por lugar (las vas a ver en la unidad 4). Todo lo de esta unidad vale igual en los dos.
Combinación lineal
Un vector w es combinación lineal de v₁, v₂, …, v_r si se puede escribir
para algunos números λ₁, …, λ_r. Por ejemplo, (2, 4, 3) es combinación lineal de (1, −1, 0) y (0, 2, 1), porque 2·(1, −1, 0) + 3·(0, 2, 1) = (2, −2, 0) + (0, 6, 3) = (2, 4, 3).
Armar una combinación es fácil: se multiplica y se suma. Lo que se pide casi siempre es lo contrario: dados w y los v, ¿existen los λ?
¿Es combinación lineal? Es un sistema
La igualdad w = λ₁v₁ + λ₂v₂ es una igualdad de vectores, y dos vectores son iguales si coinciden coordenada por coordenada. Cada coordenada da una ecuación, y las incógnitas son los λ. Con dos vectores de ℝ³ quedan tres ecuaciones con dos incógnitas:
2. Igualá coordenada por coordenada: una ecuación por coordenada.
3. Resolvé el sistema (con dos incógnitas alcanza con dos ecuaciones: despejá de las más simples).
4. Reemplazá en la ecuación que no usaste. Si se cumple, w es combinación lineal; si no, no lo es.
El paso 4 es el que decide. Con dos incógnitas, dos ecuaciones casi siempre tienen solución; la tercera es la que puede fallar, y cuando falla quiere decir que w no está «en el plano» que arman v₁ y v₂. Si el sistema es incompatible, w no es combinación lineal. Si es compatible determinado, lo es de una única manera. Si es compatible indeterminado, lo es de infinitas maneras (pasa cuando sobra algún v, por ejemplo con tres vectores de un mismo plano).
Con un parámetro
Si w trae una letra, como (k, 5, −1), se usan las ecuaciones sin la letra para hallar los λ, y después la de la letra dice cuánto tiene que valer k. Si la letra aparece en todas, se resuelve igual: es un sistema con un parámetro, como los de la unidad 2.
Una combinación de combinaciones
Si u y v son combinaciones lineales de v₁ y v₂, entonces 2u − 3v también lo es: se reemplaza y se agrupa. No hace falta resolver ningún sistema para saberlo. Es la razón por la que, en el tema que sigue, el conjunto de todas las combinaciones lineales es un «lugar cerrado».
El control que conviene hacer siempre
Con los λ que encontraste, armá λ₁v₁ + λ₂v₂ y fijate que dé w en todas las coordenadas. Un signo mal pasado en el despeje se descubre ahí, y es el error más común del tema.
Sean v₁ = (1, 2, 1) y v₂ = (2, 3, 3). Decidir si w = (4, 7, 5) y u = (0, 1, 2) son combinaciones lineales de v₁ y v₂, y en caso afirmativo dar los coeficientes.
Planteo para w: busco a y b con a·(1, 2, 1) + b·(2, 3, 3) = (4, 7, 5). El lado derecho es (a + 2b, 2a + 3b, a + 3b), así que igualando coordenadas:
2a + 3b = 7
a + 3b = 5
Resuelvo con las dos primeras. De la primera, a = 4 − 2b. En la segunda: 2(4 − 2b) + 3b = 7, o sea 8 − b = 7 y b = 1; entonces a = 2.
La que decide: en la tercera, 2 + 3·1 = 5 ✔. Se cumple, así que w es combinación lineal: w = 2v₁ + v₂.
Control: 2·(1, 2, 1) + (2, 3, 3) = (2, 4, 2) + (2, 3, 3) = (4, 7, 5) ✔.
Ahora u = (0, 1, 2): el sistema es a + 2b = 0 ; 2a + 3b = 1 ; a + 3b = 2. De la primera, a = −2b; en la segunda, −4b + 3b = 1, así que b = −1 y a = 2. En la tercera: 2 + 3·(−1) = −1, y tendría que dar 2.
El sistema es incompatible: u no es combinación lineal de v₁ y v₂. Geométricamente, u no está en el plano que pasa por el origen y contiene a v₁ y a v₂.
Dónde se pierde el punto: encontrar a = 2 y b = −1 con las dos primeras ecuaciones y contestar «sí, u = 2v₁ − v₂» sin probar la tercera. Esos números existen siempre; lo que hay que ver es si cierran en todas.
Sean v₁ = (1, −1, 2) y v₂ = (2, 1, 1). a) Hallar k para que w = (k, 5, −1) sea combinación lineal de v₁ y v₂, y escribir w con ese k. b) Decidir si (3, 0, 1) es combinación lineal de v₁ y v₂. c) Sin hacer cuentas, decidir si 2w − v₁ es combinación lineal de v₁ y v₂.
a) Planteo: a·(1, −1, 2) + b·(2, 1, 1) = (a + 2b, −a + b, 2a + b) = (k, 5, −1).
−a + b = 5
2a + b = −1
Las dos últimas no tienen la k: las uso para a y b. Restando la segunda de la tercera, 3a = −6, así que a = −2, y b = 5 + a = 3. La primera dice cuánto tiene que valer k: k = −2 + 2·3 = 4.
Con k = 4, w = −2v₁ + 3v₂. Control: (−2, 2, −4) + (6, 3, 3) = (4, 5, −1) ✔. Para cualquier otro k la primera ecuación falla, así que k = 4 es el único.
b) a + 2b = 3 ; −a + b = 0 ; 2a + b = 1. De la segunda, a = b; en la primera, 3b = 3, b = 1 = a. En la tercera: 2 + 1 = 3, y tendría que dar 1. No es combinación lineal.
c) w = −2v₁ + 3v₂, así que 2w − v₁ = −4v₁ + 6v₂ − v₁ = −5v₁ + 6v₂: sí es combinación lineal, y se ve reagrupando, sin resolver ningún sistema. Control: 2w − v₁ = (8, 10, −2) − (1, −1, 2) = (7, 11, −4), y −5(1, −1, 2) + 6(2, 1, 1) = (7, 11, −4) ✔.
Dónde se pierde el punto: en a), despejar a y b de la primera ecuación, la que tiene la k. Así la letra se mete en todo y no queda ninguna ecuación limpia para decidir cuánto vale.
Dónde se cae la mayoría
- Resolver con dos coordenadas y contestar sin reemplazar en la tercera: esa ecuación es la que decide si w es combinación lineal o no.
- Plantear w = a·v₁ + b·v₂ y sumar las coordenadas de cada vector en vez de igualar coordenada por coordenada.
- Creer que dos vectores de ℝ³ generan cualquier vector de ℝ³: con dos se llega a lo sumo a un plano.
- Pensar que si w es combinación lineal de v₁ y v₂, entonces v₁ y v₂ son combinación lineal de w: el orden importa.
- Con un parámetro, usar la ecuación que tiene la letra para despejar los coeficientes y quedarse sin ecuación para la letra.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Espacios vectoriales y combinaciones lineales →Los otros temas de la unidad 3
Espacios vectoriales