Álgebra (71) · Unidad 2 — Sistemas de ecuaciones lineales
Parámetros desde condiciones: una solución conocida, compatibilidad, soluciones en común
Cuando un sistema tiene letras y se sabe algo de sus soluciones, ese dato es una ecuación para las letras. Una solución conocida se reemplaza; la compatibilidad se pide mirando la fila ( 0 … 0 | c ) que queda al triangular; y dos sistemas con soluciones en común se estudian juntándolos en uno solo.
La explicación
Una solución conocida
Si se sabe que P es solución de un sistema con coeficientes desconocidos a y b, P cumple cada ecuación, y reemplazarlo da ecuaciones en a y b. Se resuelven, y con esos valores el sistema queda completo y se resuelve como siempre.
2. Resolvé esas condiciones (a veces una sola ecuación ya da una letra, y otra da la otra).
3. Escribí el sistema con los valores hallados y resolvelo por Gauss.
4. P tiene que aparecer entre las soluciones: es el control.
El sistema ya no puede ser incompatible (P es solución): sólo puede ser determinado (y entonces P es la única) o indeterminado.
Compatibilidad con letras en la ampliada
Un sistema es incompatible exactamente cuando, al triangular, aparece una fila ( 0 0 … 0 | c ) con c ≠ 0. Con letras, se triangula y se mira qué expresiones quedan:
- si la letra está sólo en los términos independientes, las filas de coeficientes nulas son fijas y hay que pedir que su término sea 0: eso da una ecuación entre las letras;
- si la letra está en un coeficiente, puede anular una fila de coeficientes sólo para ciertos valores; para ésos, hay que pedir que el término también se anule.
Por ejemplo, con la ampliada ( 1 −3 | 2 ), ( 2 a | b ): F₂ − 2F₁ da ( 0 a + 6 | b − 4 ). Si a ≠ −6 es compatible para todo b; si a = −6, hace falta b = 4 (y entonces hay infinitas).
Los términos independientes que hacen compatible un sistema
Con términos independientes (a, b, c) libres, triangular deja una condición del tipo c − a − b = 0: los (a, b, c) que hacen compatible el sistema forman un plano. Si además se pide que (a, b, c) esté sobre una recta, se reemplaza la paramétrica de la recta en esa condición: queda una ecuación en λ.
Dos sistemas con soluciones en común
Una solución común a S₁ y S₂ cumple todas las ecuaciones de los dos: son las soluciones del sistema que las junta. Entonces:
infinitas ⇔ compatible indeterminado · ninguna ⇔ incompatible
Muchas veces conviene resolver primero el sistema que no tiene letras y reemplazar su solución general en las ecuaciones del otro: quedan pocas ecuaciones, en la variable libre y en las letras.
El control que conviene hacer siempre
Con los valores de las letras que encontraste, rehacé la cuenta con números: la solución conocida tiene que cumplir el sistema; con el valor que hace compatible, la última fila tiene que dar 0 = 0; y la solución común tiene que cumplir las ecuaciones de los dos sistemas.
Se sabe que (1, −2, 3) es solución del sistema ax₁ + x₂ + bx₃ = 5 ; x₁ + ax₂ + x₃ = −4. Hallar a y b, y después todas las soluciones del sistema.
Reemplazo el punto en las dos ecuaciones:
1 − 2a + 3 = −4 → a = 4
Con a = 4, la primera da 3b = 3, b = 1. a = 4.
El sistema completo: 4x₁ + x₂ + x₃ = 5 ; x₁ + 4x₂ + x₃ = −4. Restando, 3x₁ − 3x₂ = 9, o sea x₁ = x₂ + 3. De la primera, x₃ = 5 − 4x₁ − x₂ = 5 − 4x₂ − 12 − x₂ = −7 − 5x₂. Con x₂ libre:
Control: con x₂ = −2 sale (1, −2, 3), la solución conocida ✔. Y (3, 0, −7) cumple las dos: 12 − 7 = 5 ✔, 3 − 7 = −4 ✔.
Dónde se pierde el punto: parar en a y b. El enunciado pide todas las soluciones: el dato era una, pero el sistema tiene infinitas.
a) Hallar la condición sobre a, b y c para que el sistema x₁ + x₂ + 2x₃ = a ; 2x₁ + x₂ + 3x₃ = b ; 3x₁ + 2x₂ + 5x₃ = c tenga solución. b) ¿Para qué puntos (a, b, c) de la recta L: X = λ(1, 2, 4) + (0, 2, 1) el sistema tiene solución?
a) Triangulo con los términos como letras:
F₃ − 3F₁ = ( 0 −1 −1 | c − 3a )
F₃ − F₂ = ( 0 0 0 | c − a − b )
La última fila de coeficientes se anula siempre, así que el sistema tiene solución si y sólo si c = a + b. (Tiene sentido: la tercera ecuación es la suma de las otras dos, y su término tiene que ser la suma de los términos.)
b) Los puntos de L son (a, b, c) = (λ, 2 + 2λ, 1 + 4λ). La condición:
Un solo punto: (1, 4, 5). Control: 5 = 1 + 4 ✔.
Dónde se pierde el ejercicio: en a), dar la condición al revés (a = b + c, por ejemplo) por no seguir los signos de F₃ − F₂. Se controla con un caso: con a = 1, b = 3 y c = 4, que cumplen la condición, el sistema tiene que tener solución, y la tiene: (2, −1, 0) da 2 − 1 + 0 = 1, 4 − 1 + 0 = 3 y 6 − 2 + 0 = 4.
Dónde se cae la mayoría
- Reemplazar la solución conocida en una sola ecuación: cada ecuación da una condición, y hacen falta todas.
- Después de hallar a y b, no resolver el sistema: casi siempre se piden todas las soluciones.
- Pedir compatibilidad mirando sólo los coeficientes: lo que decide es el término que queda al lado de una fila de ceros.
- Con una letra en un coeficiente, olvidar el caso en que ese coeficiente se anula.
- Para las soluciones comunes, resolver cada sistema por separado e igualar parámetros con la misma letra.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Parámetros desde condiciones: una solución conocida, compatibilidad, soluciones en común →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — Dos parámetros: cuándo hay solución y cuál25 puntos · resuelto paso a paso
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