Álgebra (71) · Unidad 2 — Sistemas de ecuaciones lineales
Método de Gauss, rango y clasificación
El método de Gauss usa tres operaciones que no cambian las soluciones para llevar la matriz ampliada a una escalera. El rango cuenta las filas que no se anularon en esa escalera, y comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada se sabe si el sistema es incompatible, compatible determinado o compatible indeterminado.
La explicación
Sistemas equivalentes y operaciones elementales
Dos sistemas son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones. Hay tres operaciones sobre las ecuaciones (o sobre las filas de la matriz ampliada) que llevan de un sistema a otro equivalente:
- Fi ↔ Fj: intercambiar dos filas;
- Fi → k·Fi, con k ≠ 0: multiplicar una fila por un número distinto de cero;
- Fi → Fi + k·Fj: sumarle a una fila un múltiplo de otra.
Las tres se pueden deshacer, y por eso no se pierde ni se gana ninguna solución. Multiplicar por 0 no vale: borraría una ecuación.
El método de Gauss
Consiste en usar esas operaciones para llegar a una matriz triangulada por filas (escalonada): cada fila con al menos un cero más a la izquierda que la de arriba.
2. Con la primera fila, hacé ceros debajo de su primer coeficiente: F₂ → F₂ − (a₂₁/a₁₁)F₁, y así con cada fila.
3. Olvidate de la primera fila y de la primera columna y repetí con lo que queda.
4. Seguí hasta que no se pueda más: la matriz está escalonada.
5. Leé los rangos, clasificá y, si es compatible, despejá de abajo hacia arriba.
El rango
Se llama rango de una matriz al número de filas que no son enteramente cero una vez que la matriz quedó escalonada. No depende de qué operaciones hayas hecho: dos triangulaciones distintas pueden dar matrices distintas, pero con la misma cantidad de filas no nulas. Si una fila se anula, era combinación de las otras: por ejemplo, las filas (1, −2, 3), (2, −4, 7) y (−1, 2, −3) tienen rango 2, porque la tercera es −1 por la primera.
La clasificación por rangos
Sea A la matriz de coeficientes, A′ la ampliada y n la cantidad de incógnitas. Siempre rg A ≤ rg A′, porque A′ tiene una columna más.
rg A = rg A′ = n → compatible determinado (una sola)
rg A = rg A′ < n → compatible indeterminado (infinitas, con n − rg A libres)
rg A < rg A′ quiere decir que al escalonar apareció una fila ( 0 0 … 0 | c ) con c ≠ 0: la ecuación 0 = c, que ningún punto cumple. Un homogéneo nunca es incompatible, porque su última columna es de ceros.
Qué se ve en ℝ³
Con tres incógnitas cada ecuación es un plano. Compatible determinado: los planos se cortan en un punto. Compatible indeterminado con una libre: se cortan en una recta (con dos libres, todos son el mismo plano). Incompatible: no hay ningún punto en todos a la vez, aunque de a dos se corten.
El control que conviene hacer siempre
Anotá cada operación (F₂ → F₂ − 2F₁) y rehacé una de las cuentas de cada fila. Al final, reemplazá la solución en el sistema original: un error en un paso de Gauss produce un sistema que ya no es equivalente, y la solución de ese sistema no cumple el tuyo. Con un indeterminado, probá dos valores de la libre.
Resolver por el método de Gauss el sistema x₁ + x₂ − x₃ = 2 ; 2x₁ + 3x₂ + x₃ = 9 ; x₁ − x₂ + 2x₃ = 1, y clasificarlo.
La ampliada y la primera columna:
( 2 3 1 | 9 ) F₂ → F₂ − 2F₁
( 1 −1 2 | 1 ) F₃ → F₃ − F₁
( 0 1 3 | 5 )
( 0 −2 3 | −1 ) F₃ → F₃ + 2F₂
La segunda columna:
( 0 1 3 | 5 )
( 0 0 9 | 9 )
Rangos: tres filas no nulas en A y en A′: rg A = rg A′ = 3 = n. Compatible determinado.
Despejo subiendo: 9x₃ = 9 → x₃ = 1; x₂ = 5 − 3 = 2; x₁ = 2 − 2 + 1 = 1. La solución es (1, 2, 1).
Control en el original: 1 + 2 − 1 = 2 ✔, 2 + 6 + 1 = 9 ✔, 1 − 2 + 2 = 1 ✔.
Dónde se pierde el punto: en F₃ + 2F₂, la última columna: −1 + 2·5 = 9. Si se escribe −1 − 10 = −11, sale x₃ = −11/9 y el control falla en las tres ecuaciones.
Resolver y clasificar el sistema x₁ − x₂ + 2x₃ = 1 ; 3x₁ − 2x₂ + 5x₃ = 4 ; 2x₁ − x₂ + 3x₃ = 3. Decidir después qué pasa si el término independiente de la tercera ecuación es 0 en lugar de 3.
Triangulo con las dos columnas de términos independientes a la vez (la del sistema y la del cambio), porque la matriz de coeficientes es la misma:
( 3 −2 5 | 4 | 4 ) F₂ → F₂ − 3F₁
( 2 −1 3 | 3 | 0 ) F₃ → F₃ − 2F₁
( 0 1 −1 | 1 | 1 )
( 0 1 −1 | 1 | −2 ) F₃ → F₃ − F₂
( 0 1 −1 | 1 | 1 )
( 0 0 0 | 0 | −3 )
Con el 3: la última fila es 0 = 0. rg A = rg A′ = 2 < 3: compatible indeterminado, con una libre. Con x₃ libre: x₂ = 1 + x₃ y x₁ = 1 + x₂ − 2x₃ = 2 − x₃.
Control con x₃ = 1, el punto (1, 2, 1): 1 − 2 + 2 = 1 ✔, 3 − 4 + 5 = 4 ✔, 2 − 2 + 3 = 3 ✔.
Con el 0: la última fila es ( 0 0 0 | −3 ): rg A = 2 y rg A′ = 3. Incompatible. La tercera ecuación de coeficientes era combinación de las otras (F₃ = F₂ − F₁), así que su término tenía que ser 4 − 1 = 3 para no contradecirlas.
Dónde se pierde el ejercicio: ver la fila de ceros en los coeficientes y contestar «infinitas» sin mirar el otro lado de la barra.
Dónde se cae la mayoría
- Hacer una operación sólo en la matriz de coeficientes y olvidar la columna de términos independientes.
- Contar el rango antes de terminar de triangular: una fila que parecía independiente puede anularse en el paso siguiente.
- Leer ( 0 0 0 | 3 ) como una fila nula: tiene un 3 del otro lado de la barra, y es la ecuación 0 = 3.
- Clasificar como compatible determinado un sistema con rg A = rg A′ menor que la cantidad de incógnitas.
- Restar mal un número negativo al hacer F₂ − 2F₁: −1 − 2·(−3) es 5, no −7.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Método de Gauss, rango y clasificación →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — Dos parámetros: cuándo hay solución y cuál25 puntos · resuelto paso a paso
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