Álgebra (71) · Unidad 2 — Sistemas de ecuaciones lineales
Problemas: mezclas, producción y soluciones enteras
En un problema de producción se nombra una incógnita por producto y se escribe una ecuación por insumo: lo que usa cada producto por lo que se fabrica, sumado, tiene que dar el stock. Después hay que leer la solución en el contexto: una cantidad negativa no sirve, un sistema incompatible dice que los datos no cierran, y si las cantidades van enteras, un indeterminado se resuelve enumerando.
La explicación
Plantear: incógnitas y una ecuación por recurso
El planteo tiene siempre la misma forma:
2. Ecuaciones: una por cada recurso que se agota (un insumo, las horas de una máquina, un total de gastos). Lo que usa una unidad de cada producto, multiplicado por la cantidad de ese producto, sumado sobre todos los productos, es igual a lo disponible.
3. Resolver por Gauss.
4. Interpretar: las cantidades no pueden ser negativas, y a veces tienen que ser enteras.
Una tabla con los productos en las columnas y los recursos en las filas es exactamente la matriz ampliada: cada fila de la tabla es una ecuación.
Porcentajes y proporciones
Si una mezcla lleva 60 % de un insumo, x kg de mezcla usan 0,6x kg de ese insumo. Si una receta dice «7 g de uno por cada 3 g del otro», cada 10 g de mezcla tienen 7 de uno: la fracción es 7/10. Conviene multiplicar cada ecuación por 10 o por 100 para trabajar con enteros; no cambia las soluciones.
Tres lecturas de la solución
- Compatible determinado con todo ≥ 0: hay un único plan de producción que agota los recursos.
- Compatible determinado con alguna cantidad negativa: la cuenta está bien, pero no hay forma de agotar exactamente esos recursos: habría que «desfabricar» algo. Con esos insumos, el pedido no se puede cumplir.
- Incompatible: los datos se contradicen. Si son registros (horas facturadas, gastos de un viaje), el registro está mal: ninguna combinación de días o trabajos da esos totales.
Soluciones enteras no negativas
Si el sistema es indeterminado y las cantidades se cuentan de a una (envases, cajas, camiones), no hay infinitas respuestas: hay unas pocas. Se buscan así:
2. Pedí que cada coordenada sea ≥ 0: salen desigualdades que acotan a la libre por arriba y por abajo.
3. Recorré los valores enteros permitidos y quedate con los que dan todas las coordenadas enteras.
4. Contá y listá las posibilidades.
Por ejemplo, si la solución es x = y + 1, z = 9 − 3y (con y libre), pedir z ≥ 0 da y ≤ 3, y pedir y ≥ 0 da la cota de abajo. Con y = 0, 1, 2, 3 salen cuatro planes: (1, 0, 9), (2, 1, 6), (3, 2, 3) y (4, 3, 0).
El control que conviene hacer siempre
Reemplazá la respuesta en la tabla del enunciado, recurso por recurso, no en el sistema que armaste: así se caza también un error de planteo (una columna cruzada, un porcentaje mal pasado). Y contestá con palabras y unidades: «hay que fabricar 4 tandas de pan clásico», no «x = 4».
Una panadería hace tres panes por tandas. Una tanda de pan clásico usa 6 kg de harina blanca; una de integral, 2 kg de harina blanca, 4 de harina integral y 1 de semillas; una de pan de semillas, 3 kg de harina blanca, 2 de integral y 2 de semillas. Tiene 51 kg de harina blanca, 34 de integral y 16 de semillas. ¿Cuántas tandas de cada pan tiene que hacer para usar todo?
Incógnitas: x = tandas de clásico, y = de integral, z = de semillas.
Una ecuación por insumo:
harina integral: 4y + 2z = 34
semillas: y + 2z = 16
Resuelvo: de la tercera, y = 16 − 2z. En la segunda: 4(16 − 2z) + 2z = 34, o sea 64 − 6z = 34 y z = 5. Entonces y = 6, y de la primera 6x = 51 − 12 − 15 = 24, x = 4.
Respuesta: 4 tandas de pan clásico, 6 de integral y 5 de semillas. Todas positivas: el plan existe.
Control con la tabla: harina blanca 24 + 12 + 15 = 51 ✔; integral 24 + 10 = 34 ✔; semillas 6 + 10 = 16 ✔.
Dónde se pierde el punto: en el planteo, escribir una ecuación por pan («clásico: 6x = …») en lugar de una por insumo. Lo que se iguala al stock es lo que se gasta de cada insumo entre todos los panes.
Una imprenta hace folletos, afiches y tarjetas por lotes. Un lote de folletos usa 1 hora de máquina y 2 de corte; uno de afiches, 2 de máquina y 1 de corte; uno de tarjetas, 1 y 1. Tiene 10 horas de máquina y 11 de corte, y quiere usarlas todas. ¿Qué planes posibles hay, con cantidades enteras de lotes?
Planteo: x folletos, y afiches, z tarjetas (en lotes):
corte: 2x + y + z = 11
Resuelvo: restando, x − y = 1, o sea x = y + 1. De la primera, z = 10 − x − 2y = 9 − 3y. Con y libre:
Acoto: y ≥ 0; x = y + 1 ≥ 0 (ya está); z = 9 − 3y ≥ 0 pide y ≤ 3. Los enteros son y = 0, 1, 2, 3.
y = 1: (2, 1, 6)
y = 2: (3, 2, 3)
y = 3: (4, 3, 0)
Respuesta: hay cuatro planes. Por ejemplo, 3 lotes de folletos, 2 de afiches y 3 de tarjetas. Control con ése: máquina 3 + 4 + 3 = 10 ✔, corte 6 + 2 + 3 = 11 ✔.
Dónde se pierde el ejercicio: contestar «infinitas soluciones» porque el sistema es indeterminado. Con lotes enteros y sin negativos, son cuatro.
Dónde se cae la mayoría
- Cruzar filas y columnas: cada ecuación es un recurso (una fila de la tabla), no un producto.
- Pasar un porcentaje sin dividir por 100: 60 % de x es 0,6x.
- Dar como respuesta una solución con una cantidad negativa: la cuenta puede estar bien, pero ese plan no existe.
- Ante un sistema incompatible, forzar una respuesta: quiere decir que los datos no cierran.
- En las soluciones enteras, acotar la libre con una sola coordenada: todas tienen que ser ≥ 0.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Problemas: mezclas, producción y soluciones enteras →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — El presupuesto y el bulto de 26 cajas25 puntos · resuelto paso a paso
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