Álgebra (71) · Unidad 2 — Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas con una condición más
Pedirle una condición más a las soluciones de un sistema es agregarle una ecuación. Así se buscan las soluciones con x₂ = 0, los puntos de una recta que resuelven un sistema (reemplazando la paramétrica) o la ecuación que hay que sumar para que la solución sea un único punto dado.
La explicación
Una condición es una ecuación más
Si un sistema tiene infinitas soluciones y se pide «las que además cumplen x₂ = 0», lo que se está pidiendo son las soluciones del sistema con esa ecuación agregada. Hay dos caminos, y dan lo mismo:
- agregar la ecuación y resolver el sistema nuevo (con x₂ = 0 reemplazado, queda un sistema más chico);
- usar la solución general del sistema original y pedirle la condición: se reemplaza en x₂ = 0 y sale el valor de la libre.
Con S: x₁ + x₂ + x₃ = 4 ; x₁ − x₂ + 3x₃ = 2, la solución general es X = x₃(−2, 1, 1) + (3, 1, 0), o sea x₂ = 1 + x₃. Pedir x₂ = 0 es pedir x₃ = −1, y la solución es (5, 0, −1). La condición puede tener una solución, infinitas o ninguna: si la general tuviera x₂ = 1 fijo, pedir x₂ = 0 sería imposible.
Los puntos de una recta que resuelven un sistema
Se reemplaza el punto genérico de la recta en cada ecuación del sistema. Cada ecuación queda en λ, y hay que mirar todas juntas:
2. Reemplazalo en cada ecuación del sistema. Cada una da un valor de λ, o una igualdad que vale siempre (0 = 0), o un absurdo.
3. Si alguna es absurda, ningún punto de la recta sirve.
4. Si todas se cumplen siempre, todos los puntos de la recta son soluciones.
5. Si no, tiene que haber un mismo λ para todas las que lo fijan; ése da el punto. Si dos ecuaciones piden λ distintos, no hay ninguno.
Geométricamente: la recta atraviesa el conjunto solución en un punto, está contenida en él, o no lo toca.
Agregar una ecuación para que la solución sea única
Si un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas tiene a P entre sus soluciones, se puede agregar una tercera ecuación para que P sea la única. La nueva ecuación tiene que cumplir dos cosas:
- P tiene que cumplirla: su término independiente es el valor del primer miembro en P. Si no, P deja de ser solución.
- No puede ser combinación de las otras dos: si lo fuera, no agregaría nada y seguirían siendo infinitas. Se controla con Gauss: la ampliada nueva tiene que tener rango 3.
Por ejemplo, para el sistema de arriba y P = (3, 1, 0), la ecuación x₂ = 1 sirve: P la cumple, y (0, 1, 0) no es combinación de (1, 1, 1) y (1, −1, 3). En cambio, 2x₁ + 4x₃ = 6 es la suma de las dos ecuaciones de S: P la cumple, pero no agrega nada.
Hay infinitas ecuaciones que sirven. Una manera cómoda de elegir: fijá los coeficientes de modo que la fila nueva no sea combinación (por ejemplo, una que tenga sólo una incógnita, si con eso sale una escalera) y calculá el término con P.
El control que conviene hacer siempre
El punto que encontraste tiene que cumplir el sistema original y la condición nueva. Y cuando decís que una recta está contenida en el conjunto solución, probá dos puntos de la recta en el sistema.
Sea S: x₁ + x₂ + x₃ = 4 ; x₁ − x₂ + 3x₃ = 2. a) Hallar la solución general. b) Hallar las soluciones de S que además cumplen x₂ = 0.
a) Triangulo: F₂ → F₂ − F₁ da (0, −2, 2 | −2), o sea x₂ − x₃ = 1. Con x₃ libre:
x₁ = 4 − x₂ − x₃ = 3 − 2x₃
X = x₃(−2, 1, 1) + (3, 1, 0)
b) Primer camino: con la general, x₂ = 0 pide 1 + x₃ = 0, x₃ = −1:
Segundo camino: agrego x₂ = 0 al sistema. Queda x₁ + x₃ = 4 ; x₁ + 3x₃ = 2; restando, 2x₃ = −2, x₃ = −1 y x₁ = 5. El mismo punto.
Hay una sola: (5, 0, −1). Control en S: 5 + 0 − 1 = 4 ✔ y 5 − 0 − 3 = 2 ✔.
Dónde se pierde el punto: contestar x₃ = −1 y no dar el punto. La pregunta es qué soluciones cumplen la condición, y una solución son las tres coordenadas.
Sean S: x₁ + x₂ − x₃ = −1 ; 2x₁ + x₃ = 5 y L: X = λ(1, 0, 2) + (0, 1, 1). a) Hallar los puntos de L que son soluciones de S. b) Agregar a S una tercera ecuación de modo que ese punto sea la única solución.
a) El punto genérico de L es (λ, 1, 1 + 2λ). En cada ecuación:
2λ + (1 + 2λ) = 5 → 4λ = 4 → λ = 1
Las dos piden el mismo λ: hay un solo punto, L(1) = (1, 1, 3). Control: 1 + 1 − 3 = −1 ✔ y 2 + 3 = 5 ✔.
b) Busco una ecuación que (1, 1, 3) cumpla y que no sea combinación de las dos de S. Pruebo con x₂ = 1: el punto la cumple. Triangulo el sistema nuevo:
( 2 0 1 | 5 ) F₂ → F₂ − 2F₁ = ( 0 −2 3 | 7 )
( 0 1 0 | 1 ) F₃ → 2F₃ + F₂ = ( 0 0 3 | 9 )
Tres escalones: rango 3, compatible determinado. La única solución es x₃ = 3, x₂ = 1, x₁ = −1 − 1 + 3 = 1: (1, 1, 3) ✔.
Dónde se pierde el ejercicio: en b), agregar 3x₁ + x₂ = 4 (la suma de las dos ecuaciones): (1, 1, 3) la cumple, pero es combinación de las otras y el sistema sigue teniendo infinitas soluciones.
Dónde se cae la mayoría
- Reemplazar la paramétrica en una sola ecuación del sistema: el punto tiene que cumplirlas todas, y dos ecuaciones pueden pedir valores de λ distintos.
- Leer 0 = 0 como que no hay solución: esa ecuación se cumple para todo λ, y la decisión la toman las otras.
- Para la solución única, agregar una ecuación que P no cumple: P deja de ser solución y el sistema puede quedar incompatible.
- Agregar una ecuación que es combinación de las otras (por ejemplo, su suma): P la cumple, pero las soluciones siguen siendo infinitas.
- Olvidarse de la condición nueva al dar la respuesta: hay que reemplazar el valor de la libre en todas las coordenadas.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Sistemas con una condición más →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — Dos parámetros: cuándo hay solución y cuál25 puntos · resuelto paso a paso
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