Álgebra (71) · Unidad 2 — Sistemas de ecuaciones lineales
Soluciones de un sistema y sistemas escalonados
Una solución de un sistema es un punto que cumple todas las ecuaciones a la vez. Si el sistema está escalonado se resuelve de abajo hacia arriba; las incógnitas que no encabezan ninguna ecuación quedan libres, y la solución se escribe en forma paramétrica, como X = x₃(−1, 2, 1) + (3, 0, 0).
La explicación
Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas
Un sistema lineal es un conjunto de ecuaciones de primer grado en las incógnitas x₁, x₂, …, xn. Se escribe con un doble subíndice: aij es el coeficiente que multiplica a xj en la ecuación i, y ci es el término independiente de la ecuación i.
…
am1x₁ + am2x₂ + … + amnxn = cm
Los coeficientes, ordenados en m filas (una por ecuación) y n columnas (una por incógnita), forman la matriz de coeficientes; si se le agrega la columna de los términos independientes, separada por una barra, queda la matriz ampliada, de m filas y n + 1 columnas. Si todos los ci son 0, el sistema es homogéneo; todo sistema tiene un homogéneo asociado, el que tiene los mismos coeficientes y ceros a la derecha.
Qué es una solución
Una solución es un punto (x₁, …, xn) de ℝⁿ que cumple todas las ecuaciones a la vez. Para verificar se reemplaza en cada una; alcanza con que falle una para que el punto no sea solución. El origen es solución de un sistema sólo si el sistema es homogéneo, y un homogéneo siempre lo tiene como solución.
Un sistema tiene ninguna, una o infinitas soluciones, nunca exactamente dos: si A y B son soluciones distintas, todos los puntos de la recta que pasa por ellas también lo son. En ℝ³ se ve: cada ecuación es un plano, y los planos se cortan en un punto, en una recta, en un plano, o no tienen nada en común. Además, si v es solución de un homogéneo, también lo es cualquier múltiplo kv.
Sistemas escalonados
Un sistema está escalonado (triangulado) cuando cada ecuación empieza con una incógnita que está más a la derecha que la de la ecuación de arriba: la matriz tiene al menos un cero más, a la izquierda, en cada fila. Entonces se resuelve de abajo hacia arriba:
2. Subí una ecuación y reemplazá lo que ya sabés: queda una sola incógnita nueva por despejar.
3. Repetí hasta la primera. Cada término que pasa al otro lado del igual cambia de signo.
4. Escribí la solución como punto, con las coordenadas en orden.
Variables libres y la forma paramétrica
Cuando hay más incógnitas que escalones, las que no encabezan ninguna ecuación quedan libres: pueden tomar cualquier valor, y las otras se escriben en función de ellas.
Con x₁ + x₂ − x₃ = 3 ; x₂ − 2x₃ = 2 hay tres incógnitas y dos escalones (encabezan x₁ y x₂), así que x₃ es libre:
x₁ = 3 − x₂ + x₃ = 1 − x₃
X = (1 − x₃, 2 + 2x₃, x₃) = x₃(−1, 2, 1) + (1, 2, 0)
Separar lo que multiplica a x₃ de lo que no es escribir la solución en forma paramétrica: es la recta de dirección (−1, 2, 1) que pasa por (1, 2, 0). Cada valor de x₃ da una solución particular. Con dos libres, la solución es X = x₃·v + x₄·w + P, y en ℝ³ sería un plano.
El control que conviene hacer siempre
Reemplazá la solución en el sistema como te lo dieron. Con variables libres, probá dos valores (por ejemplo x₃ = 0 y x₃ = 1): una despejada mal puede acertar en uno y fallar en el otro. Y el vector que multiplica a la libre tiene que ser solución del homogéneo asociado.
Resolver el sistema escalonado x₁ − x₂ + 3x₃ = 5 ; 2x₂ + x₃ = −1 ; 3x₃ = 3, y escribir su matriz ampliada.
La ampliada: una fila por ecuación, una columna por incógnita y la de los términos independientes después de la barra.
( 0 2 1 | −1 )
( 0 0 3 | 3 )
Cada fila tiene un cero más a la izquierda que la de arriba: está escalonada.
De abajo hacia arriba:
2x₂ + 1 = −1 → x₂ = −1
x₁ = 5 + x₂ − 3x₃ = 5 − 1 − 3 = 1
Solución: (1, −1, 1), la única, porque hay tres escalones y tres incógnitas.
Control en el sistema original: 1 + 1 + 3 = 5 ✔, −2 + 1 = −1 ✔, 3 = 3 ✔.
Dónde se pierde el punto: al despejar x₁, pasar el −x₂ restando. Quedaría x₁ = 5 − x₂ − 3x₃ = 5 + 1 − 3 = 3, y el control lo delata: 3 + 1 + 3 = 7, no 5.
Hallar todas las soluciones en ℝ⁴ del sistema x₁ + x₃ − x₄ = 2 ; x₂ − 2x₃ + x₄ = 1, escribirlas en forma paramétrica y decidir si (1, 4, 1, 0) es solución.
Planteo: está escalonado; encabezan x₁ y x₂. Son cuatro incógnitas y dos escalones: dos libres, x₃ y x₄.
Despejo cada una de las que encabezan:
x₂ = 1 + 2x₃ − x₄
Separo lo que multiplica a cada libre:
X = x₃(−1, 2, 1, 0) + x₄(1, −1, 0, 1) + (2, 1, 0, 0)
Control: (2, 1, 0, 0) cumple el sistema (2 = 2 ✔, 1 = 1 ✔), y (−1, 2, 1, 0) y (1, −1, 0, 1) cumplen el homogéneo asociado: −1 + 1 − 0 = 0 y 2 − 2 + 0 = 0 ✔; 1 + 0 − 1 = 0 y −1 − 0 + 1 = 0 ✔.
¿(1, 4, 1, 0) es solución? Tendría que ser x₃ = 1 y x₄ = 0 (las dos últimas coordenadas), y entonces la general da (1, 3, 1, 0). La segunda coordenada es 3, no 4: no es solución. Reemplazando directo, la primera ecuación da 1 + 1 − 0 = 2 ✔ pero la segunda da 4 − 2 + 0 = 2 ≠ 1.
Dónde se pierde el ejercicio: dar como respuesta sólo x₁ y x₂ «en función de» las otras sin escribir el punto entero. La solución es un punto de ℝ⁴, con sus cuatro coordenadas.
Dónde se cae la mayoría
- Verificar una sola ecuación y dar el punto por solución: tiene que cumplirlas todas.
- Pasar un término al otro lado sin cambiarle el signo: de x₁ − x₃ = 2 sale x₁ = 2 + x₃.
- Tomar como libres «las del final» en vez de las que no encabezan ninguna ecuación.
- Creer que un sistema puede tener exactamente dos soluciones: si tiene dos, tiene infinitas.
- Escribir la forma paramétrica mezclando las partes: lo que multiplica a la variable libre va en el vector dirección, y lo que queda suelto es el punto de paso.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Soluciones de un sistema y sistemas escalonados →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — El presupuesto y el bulto de 26 cajas25 puntos · resuelto paso a paso
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