Álgebra (71) · Unidad 1 — Rectas y planos en ℝ² y ℝ³
Ecuación presupuestaria: recta y plano balance
Si se gasta exactamente un presupuesto M en productos de precios fijos, las compras posibles cumplen p₁x + p₂y = M con x, y ≥ 0: un segmento de recta, la recta balance. Sus cortes con los ejes son las cantidades máximas de cada producto, y se leen directo en la ecuación segmentaria x/a + y/b = 1. Con tres productos es un plano: el plano balance.
La explicación
La ecuación presupuestaria
Un consumidor tiene un presupuesto de $ M y lo gasta entero en dos productos, A y B, que cuestan $ p₁ y $ p₂ por unidad. Si compra x unidades de A e y de B, gasta p₁x + p₂y, así que las compras posibles son las soluciones de
Es la ecuación presupuestaria. Su gráfico es una recta, la recta balance, pero como las cantidades no pueden ser negativas sólo interesa el tramo del primer cuadrante: un segmento entre los dos ejes. Cada punto del segmento es una canasta que agota el presupuesto; los puntos de abajo del segmento son canastas que no lo agotan, y los de arriba, canastas que no se pueden pagar.
Los cortes con los ejes y la ecuación segmentaria
Si no se compra nada de B (y = 0), se puede comprar x = M/p₁ de A: es la cantidad máxima de A. Del mismo modo, M/p₂ es la máxima de B. Dividiendo la ecuación por M aparecen las dos a la vista:
1600x/24000 + 800y/24000 = 1
x/15 + y/30 = 1
Es la ecuación segmentaria: los denominadores son los cortes con los ejes, o sea las cantidades máximas (15 de A, 30 de B). Al revés, si se conocen los dos máximos, la ecuación sale sola.
La pendiente: cuánto se resigna
Despejando, y = −(p₁/p₂)x + M/p₂. La pendiente de una recta balance es siempre negativa: para comprar más de A hay que comprar menos de B. Su valor dice cuánto: con p₁ = 1600 y p₂ = 800 la pendiente es −2, y cada unidad más de A obliga a resignar 2 de B. Es el precio de A medido en unidades de B.
Canastas y cantidades que faltan
¿Una canasta agota el presupuesto? Calculá p₁x + p₂y y comparalo con M: si da menos sobra plata, si da más no alcanza.
¿Qué compras enteras hay? Si los productos se compran por unidad, sólo sirven los puntos de coordenadas enteras del segmento: se recorren los valores enteros de x y se miran los que dan y entero.
Tres productos: el plano balance
Con un tercer producto C, de precio p₃, la ecuación es p₁x + p₂y + p₃z = M, con x, y, z ≥ 0. Su gráfico es un plano, el plano balance, y lo que interesa de él es el triángulo que corta en el primer octante. Sus tres vértices, sobre los ejes, son otra vez las cantidades máximas, y la segmentaria tiene tres términos: x/a + y/b + z/c = 1.
Datos que faltan: un precio o el presupuesto
Muchos problemas dan la ecuación con huecos y dos datos para llenarlos:
- Un máximo dice un cociente: «puede comprar a lo sumo 36 de A» es M/p₁ = 36, o sea M = 36·p₁.
- Una canasta que agota el presupuesto es un punto que cumple la ecuación: una ecuación lineal en lo que falta.
Con dos incógnitas (un precio y M, o dos precios) y esos dos datos queda un sistema de 2×2. Por ejemplo: A cuesta $ 250, B cuesta p (no se sabe), con el presupuesto se compran a lo sumo 16 de B, y la canasta de 4 de A y 12 de B lo agota. Entonces M = 16p y M = 250·4 + 12p; igualando, 4p = 1000, p = $ 250 y M = $ 4000.
El control que conviene hacer siempre
Reemplazá la canasta del enunciado en la ecuación completa: tiene que dar exactamente M. Y los máximos se controlan con la segmentaria: la suma de las fracciones de cada producto tiene que dar 1.
Una consultora tiene $ 24000 por mes para comprar café, a $ 1600 el kilo, y azúcar, a $ 800 el kilo. a) Plantear la ecuación presupuestaria y la segmentaria. b) ¿Cuál es la máxima cantidad de cada uno? c) Si compra 6 kg de café, ¿cuánto azúcar tiene que comprar para agotar el presupuesto? d) ¿Cuánto azúcar resigna por cada kilo más de café?
a) Con x kg de café e y kg de azúcar:
x/15 + y/30 = 1
La segmentaria sale de dividir por 24000: 24000/1600 = 15 y 24000/800 = 30.
b) Los denominadores de la segmentaria: a lo sumo 15 kg de café (sin azúcar) o 30 kg de azúcar (sin café).
c) Con x = 6: 1600·6 = 9600, y quedan 24000 − 9600 = 14400 para azúcar: y = 14400/800 = 18 kg. Control en la segmentaria: 6/15 + 18/30 = 0,4 + 0,6 = 1 ✔.
d) La pendiente de la recta balance es −1600/800 = −2: cada kilo más de café se paga con 2 kilos menos de azúcar. Tiene sentido: el café cuesta el doble.
Dónde se pierde el punto: en b), contestar 1600 o 800: ésos son los precios. El máximo de café es lo que alcanza con toda la plata, 24000/1600.
La ecuación presupuestaria de un comercio para tres productos es ax + by + 60z = 7200, con x, y, z ≥ 0. Se sabe que puede comprar a lo sumo 36 unidades de A, y que si compra 12 de A, 20 de B y 40 de C gasta todo el presupuesto. a) Hallar a y b. b) Hallar el máximo de B y el de C. c) Escribir la ecuación segmentaria.
a) El máximo de A se da con y = z = 0: a·36 = 7200, así que a = 200. La canasta cumple la ecuación:
b) Máximo de B: 7200/120 = 60. Máximo de C: 7200/60 = 120.
c) Con los tres máximos:
Control: la canasta da 12/36 + 20/60 + 40/120 = 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1 ✔. El plano balance corta los ejes en (36, 0, 0), (0, 60, 0) y (0, 0, 120), y las compras posibles son el triángulo que forman.
Dónde se pierde el ejercicio: en a), plantear el máximo de A con la canasta en vez de con y = z = 0. «A lo sumo 36 de A» es lo que se compra si no se compra nada de lo otro.
Dónde se cae la mayoría
- Confundir el máximo de un producto con su precio: el máximo de A es M/p₁, lo que alcanza si no se compra nada más.
- Dar una canasta que no agota el presupuesto como solución de la ecuación: tiene que gastar exactamente M.
- Olvidar las condiciones x, y ≥ 0: la recta balance es sólo el segmento del primer cuadrante.
- En la segmentaria, poner los precios en los denominadores: van las cantidades máximas.
- Con cantidades que se compran por unidad, redondear para arriba un máximo: si da 22,5, se pueden comprar 22.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Ecuación presupuestaria: recta y plano balance →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — El presupuesto y el bulto de 26 cajas25 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 1
Rectas y planos en ℝ² y ℝ³
- 1.1 Puntos y vectores del plano
- 1.2 Rectas del plano: paramétrica, implícita y pendiente
- 1.3 Paralelas, intersección y posiciones relativas
- 1.4 Modelos lineales: costos, ganancias y punto de equilibrio
- 1.5 Puntos, vectores y rectas en ℝ³
- 1.6 Planos en ℝ³: paramétrica e implícita
- 1.7 Intersecciones en ℝ³