Álgebra (71) · Unidad 1 — Rectas y planos en ℝ² y ℝ³

Intersecciones en ℝ³

Dos planos que no son paralelos se cortan en una recta, y por eso una recta de ℝ³ se puede dar como un sistema de dos ecuaciones. Una recta y un plano se cortan en un punto, o la recta está contenida en el plano, o son paralelos: lo decide la ecuación en λ que sale de reemplazar la paramétrica.

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La explicación

Plano con plano: un sistema de dos ecuaciones

Los puntos comunes a Π₁: a₁x₁ + b₁x₂ + c₁x₃ = d₁ y Π₂: a₂x₁ + b₂x₂ + c₂x₃ = d₂ son las soluciones del sistema de las dos ecuaciones. Son dos ecuaciones con tres incógnitas, y pasa una de tres cosas:

los primeros miembros no son proporcionales: queda una variable libre, y la intersección es una recta;
son proporcionales y los términos independientes no: se llega a 0 = c con c ≠ 0, los planos son paralelos y no se tocan;
son proporcionales, término incluido: es el mismo plano.

Por ejemplo, con Π₁: x₁ + 2x₂ − x₃ = 3 y Π₂: x₂ + x₃ = 1, llamo t a x₃: de la segunda, x₂ = 1 − t, y de la primera, x₁ = 3 − 2(1 − t) + t = 1 + 3t.

Π₁ ∩ Π₂: X = t(3, −1, 1) + (1, 1, 0)

La recta como dos ecuaciones

Por eso una recta de ℝ³ tiene una forma implícita: un sistema de dos ecuaciones (dos planos que la contienen). Para pasar de la paramétrica a las implícitas se elimina λ: se despeja de una coordenada y se reemplaza en las otras dos. Con L: X = λ(2, −1, 1) + (1, 3, 0):

x₃ = λ
x₁ = 2λ + 1 → x₁ − 2x₃ = 1
x₂ = −λ + 3 → x₂ + x₃ = 3

L es {x₁ − 2x₃ = 1 ; x₂ + x₃ = 3}. Para ir al revés, de las implícitas a la paramétrica, se resuelve el sistema, como arriba.

Sin producto vectorial: la dirección de una recta dada por dos ecuaciones se consigue resolviendo el sistema homogéneo (con los términos independientes en 0). Con {x₁ − x₂ = 1 ; x₂ + 2x₃ = 0}, el homogéneo da x₂ = −2x₃ y x₁ = x₂, así que con x₃ = 1 la dirección es (−2, −2, 1).

Rectas paralelas a una recta dada por implícitas

Primero se saca su dirección como arriba; después se pide que la otra dirección sea un múltiplo. La recta por (1, a, 0) y (5, 2, −2) tiene dirección (4, 2 − a, −2), que tiene que ser −2·(−2, −2, 1) = (4, 4, −2): eso da a = −2.

Recta con plano: una ecuación en λ

Se reemplaza el punto genérico de la recta en la ecuación del plano. Queda una ecuación de primer grado en λ, y según lo que quede:

1. Si se puede despejar λ, hay un punto de intersección: se reemplaza ese λ en la recta.
2. Si los λ se cancelan y queda 0 = 0 (o una igualdad cierta), todos los puntos cumplen: la recta está contenida en el plano.
3. Si se cancelan y queda un absurdo, como 7 = 0, no hay ningún punto común: la recta es paralela al plano.

Con L: X = λ(2, −1, 1) + (1, 3, 0) y Π: x₁ + x₂ + x₃ = 10: (1 + 2λ) + (3 − λ) + λ = 10 da 2λ = 6, λ = 3, y el punto es (7, 0, 3). Si el plano viene en paramétrica, conviene pasarlo antes a implícita; si la recta viene en implícitas, se resuelve el sistema de las tres ecuaciones.

Un atajo para saber de antemano en qué caso se está: la recta es paralela al plano (o está contenida) cuando su dirección da 0 en el primer miembro de la ecuación del plano, porque entonces al moverse por la recta la ecuación no cambia.

El control que conviene hacer siempre

Un punto de intersección tiene que cumplir todas las ecuaciones involucradas: las dos de los planos, o la del plano y la paramétrica de la recta. Y una paramétrica que diste como intersección de dos planos se controla con dos valores de t en las dos ecuaciones.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Sean Π₁: x₁ + 2x₂ − x₃ = 3 y Π₂: x₂ + x₃ = 1. a) Hallar una paramétrica de L = Π₁ ∩ Π₂. b) Hallar la intersección de L con Π₃: x₁ + x₂ + x₃ = 5. c) Decidir si L está contenida en Π₄: x₁ + 3x₂ = 4.

a) Los primeros miembros no son proporcionales (Π₂ no tiene x₁), así que se cortan en una recta. Llamo t a x₃:

x₂ = 1 − t
x₁ = 3 − 2x₂ + x₃ = 3 − 2 + 2t + t = 1 + 3t

L: X = t(3, −1, 1) + (1, 1, 0). Control con t = 1, el punto (4, 0, 1): Π₁ da 4 + 0 − 1 = 3 ✔ y Π₂ da 0 + 1 = 1 ✔.

b) Reemplazo el punto genérico (1 + 3t, 1 − t, t) en Π₃:

(1 + 3t) + (1 − t) + t = 5 → 2 + 3t = 5 → t = 1

L ∩ Π₃ = {(4, 0, 1)}, y cumple las tres ecuaciones: 4 + 0 + 1 = 5 ✔.

c) En Π₄: (1 + 3t) + 3(1 − t) = 4 da 4 = 4, que vale para todo t. L está contenida en Π₄. Tiene sentido: Π₄ es Π₁ + Π₂ (sumando las ecuaciones: x₁ + 3x₂ = 4), así que todo punto que cumpla las dos cumple Π₄.

Dónde se pierde el punto: en c), leer «4 = 4» como que no hay solución porque «no quedó t». No quedó t porque cualquier t sirve.

Y uno del nivel del parcial

Sea L: X = λ(2, −1, 1) + (1, 3, 0). a) Escribir L como intersección de dos planos. b) Decidir cómo es la intersección de L con Π: x₁ + x₂ + x₃ = 10, con Π′: x₁ + 2x₂ = 7 y con Π″: x₁ + 2x₂ = 0.

a) De la tercera coordenada, λ = x₃. Reemplazo en las otras dos:

x₁ = 2x₃ + 1 → x₁ − 2x₃ = 1
x₂ = −x₃ + 3 → x₂ + x₃ = 3

L = {x₁ − 2x₃ = 1 ; x₂ + x₃ = 3}. Control con λ = 1, el punto (3, 2, 1): 3 − 2 = 1 ✔ y 2 + 1 = 3 ✔.

b) Con Π: (1 + 2λ) + (3 − λ) + λ = 10 da 4 + 2λ = 10, λ = 3: un punto, (7, 0, 3).

Con Π′: (1 + 2λ) + 2(3 − λ) = 7 da 7 = 7: L está contenida en Π′.

Con Π″: el mismo primer miembro da 7 = 0, absurdo: L es paralela a Π″ y no la toca.

Los dos últimos se podían prever: la dirección (2, −1, 1) da 2 − 2 = 0 en x₁ + 2x₂, así que L es paralela a esos dos planos; el punto (1, 3, 0) da 7, que está en Π′ y no en Π″.

Dónde se pierde el ejercicio: en a), dar las dos ecuaciones sin controlarlas con un segundo punto de la recta. Con el punto de paso solo, un signo mal en la dirección no se ve.

Dónde se cae la mayoría

Creer que una sola ecuación ax₁ + bx₂ + cx₃ = d es una recta: en ℝ³ es un plano; una recta implícita son dos ecuaciones.
Decir que dos planos paralelos se cortan en una recta: si los primeros miembros son proporcionales y el término no, no tienen puntos comunes.
Cuando la ecuación en λ da 0 = 0, contestar que no hay intersección: 0 = 0 se cumple siempre, y la recta está entera dentro del plano.
Dar el valor de λ como si fuera el punto de intersección: el punto sale de reemplazar λ en la recta.
Buscar la dirección de una recta implícita con los términos independientes: la dirección sale del sistema homogéneo.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — El plano, la recta que lo pincha y la que vive en él25 puntos · resuelto paso a paso

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