Álgebra (71) · Unidad 1 — Rectas y planos en ℝ² y ℝ³
Rectas del plano: paramétrica, implícita y pendiente
Una recta se puede escribir de tres maneras: la paramétrica X = λ·v + P (una dirección y un punto de paso), la implícita ax + by = c y la explícita y = mx + b. Se pasa de una a otra eliminando el parámetro o despejando, y la pendiente m dice cuánto sube la recta por cada paso de 1 hacia la derecha.
La explicación
La ecuación paramétrica: dirección y punto de paso
Los múltiplos λ·v de un vector v ≠ (0, 0) forman la recta que pasa por el origen con la dirección de v. Si a cada uno de esos puntos se le suma un punto fijo P, la recta se traslada entera y pasa por P sin cambiar de dirección:
v es un vector dirección y P un punto de paso. Cada valor de λ da un punto: λ = 0 da P, λ = 1 da P + v, λ = −1 da P − v. La escritura no es única: sirve como dirección cualquier múltiplo no nulo de v, y de punto de paso, cualquier punto que esté sobre ella. X = λ(4, 2) + (−2, 1) y X = λ(2, 1) + (0, 2) son la misma recta.
La recta por dos puntos
Si la recta pasa por P y Q, la flecha que va de P a Q está sobre la recta, así que v = Q − P sirve de dirección y cualquiera de los dos de punto de paso: X = λ(Q − P) + P. Con λ = 0 sale P y con λ = 1 sale Q.
¿Un punto está en la recta?
R pertenece a L si hay un único λ con λ·v + P = R. Se saca λ de una coordenada y se controla la otra: si da el mismo λ, está; si no, no.
La implícita: eliminar el parámetro
De la paramétrica salen dos ecuaciones, una por coordenada. Se despeja λ de una y se reemplaza en la otra. Con L: X = λ(3, −6) + (−1, 3):
λ = (x + 1)/3 → y = −2(x + 1) + 3
2x + y = 1
Toda recta tiene una ecuación implícita ax + by = c, con a y b no los dos nulos. Tampoco es única: multiplicada por cualquier número distinto de 0 sigue siendo la misma recta (4x + 2y = 2 también es L). Para ir al revés, de la implícita a la paramétrica, alcanza con encontrar dos puntos que la cumplan (por ejemplo, los cortes con los ejes) y hacer la recta por dos puntos; o despejar y escribir x = t.
La explícita y la pendiente
Si b ≠ 0, de la implícita se puede despejar y: y = mx + b. El número m es la pendiente y b la ordenada al origen (donde la recta corta al eje y). La pendiente es un escalón: por cada paso de 1 hacia la derecha, la recta sube m (o baja, si m es negativa). De 2x + y = 1 sale y = −2x + 1: pendiente −2, corta al eje y en 1.
- Con dirección v = (v₁, v₂) y v₁ ≠ 0, la pendiente es m = v₂ / v₁: avanzar v₁ y subir v₂ es lo mismo que avanzar 1 y subir v₂/v₁. Por eso (1, m) es siempre una dirección de y = mx + b, y (0, b) un punto de paso.
- De la implícita ax + by = c, la pendiente es −a/b.
- Por dos puntos: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).
Los dos casos especiales
Si los dos puntos tienen la misma abscisa, la recta es vertical: x = c, dirección (0, 1), y no tiene pendiente (no hay explícita). Si tienen la misma ordenada es horizontal: y = c, pendiente 0.
1. Escribí y = mx + b con la m que te dan.
2. Reemplazá el punto: y₀ = m·x₀ + b, y despejá b.
3. Si la querés paramétrica: X = λ(1, m) + (x₀, y₀).
El control que conviene hacer siempre
Los puntos que te dieron tienen que cumplir la ecuación que escribiste. Con una paramétrica, probá dos valores de λ en la implícita; con una explícita, calculá y en dos abscisas.
Sea L la recta que pasa por A = (−1, 3) y B = (2, −3). a) Dar una ecuación paramétrica y una implícita de L. b) Hallar la pendiente y la ordenada al origen. c) Decidir si (4, −7) y (0, 2) pertenecen a L.
a) La dirección es la diferencia de los puntos:
Con A de punto de paso, L: X = λ(3, −6) + (−1, 3). Para la implícita elimino λ:
y = −6λ + 3 = −2(x + 1) + 3 = −2x + 1
2x + y = 1
b) De y = −2x + 1: la pendiente es −2 y la ordenada al origen 1. Con la dirección da lo mismo: m = −6/3 = −2. Por cada paso de 1 hacia la derecha, la recta baja 2.
c) Reemplazo en la implícita:
(0, 2): 2·0 + 2 = 2 ≠ 1 → no pertenece
Con la paramétrica se llega a lo mismo: (4, −7) sale con λ = 5/3 en las dos coordenadas (3·5/3 − 1 = 4 y −6·5/3 + 3 = −7).
Control: A y B cumplen la implícita: 2(−1) + 3 = 1 ✔ y 2·2 − 3 = 1 ✔.
Dónde se pierde el punto: en la pendiente, poner 3/(−6) = −1/2 (avance sobre subida). La pendiente es lo que sube dividido lo que avanza.
a) Dar la implícita y la pendiente de L₁: X = λ(2, 5) + (1, −1). b) Dar la ecuación de la recta de pendiente −3 que pasa por (2, −4). c) Dar la recta que pasa por (3, 1) y (3, −2). d) Dar una paramétrica de L₂: 4x − 2y = 6.
a) x = 2λ + 1 e y = 5λ − 1. De la primera, λ = (x − 1)/2; en la segunda:
Pendiente: m = 5/2 (la dirección avanza 2 y sube 5). Control con el punto de paso: 5·1 − 2(−1) = 7 ✔
b) y = −3x + b y el punto la cumple: −4 = −3·2 + b, o sea b = 2. y = −3x + 2. Una paramétrica es X = λ(1, −3) + (2, −4).
c) Los dos puntos tienen abscisa 3: la recta es vertical, x = 3, con dirección (0, 1) y sin pendiente. En paramétrica, X = λ(0, 1) + (3, 1).
d) Despejo y: 2y = 4x − 6, y = 2x − 3. Con x = λ queda (λ, 2λ − 3) = λ(1, 2) + (0, −3). L₂: X = λ(1, 2) + (0, −3). Control: con λ = 2 sale (2, 1), y 4·2 − 2·1 = 6 ✔
Dónde se pierde el ejercicio: en c), decir que la pendiente es 0 porque «no cambia la x». Lo que no cambia es la abscisa: la recta es vertical, y una vertical no tiene pendiente.
Dónde se cae la mayoría
- Poner el punto de paso como dirección: en X = λ·v + P la dirección es la que multiplica a λ, y la de una recta por dos puntos es la diferencia Q − P, no uno de los puntos.
- Invertir la pendiente: con dirección (v₁, v₂) la pendiente es v₂/v₁ (lo que sube sobre lo que avanza), no v₁/v₂.
- Olvidar el signo en la pendiente de la implícita: en ax + by = c es −a/b.
- Decir que una recta vertical tiene pendiente 0: la horizontal tiene pendiente 0; la vertical no tiene pendiente.
- Controlar la pertenencia con una sola coordenada: el λ que sale de la primera tiene que dar también la segunda.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Rectas del plano: paramétrica, implícita y pendiente →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — El presupuesto y el bulto de 26 cajas25 puntos · resuelto paso a paso
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