Álgebra (71) · Unidad 1 — Rectas y planos en ℝ² y ℝ³
Puntos, vectores y rectas en ℝ³
En ℝ³ los puntos tienen tres coordenadas, x₁, x₂ y x₃, y se opera igual que en el plano. Una recta es X = λ·v + P, como antes; lo nuevo es que dos rectas pueden no ser paralelas y aun así no cortarse: son alabeadas.
La explicación
El espacio de tres coordenadas
ℝ³ son las ternas (x₁, x₂, x₃). Se dibujan con tres ejes que salen del origen: x₁ hacia adelante, x₂ hacia la derecha y x₃ hacia arriba. Para ubicar el punto (2, 3, 1) se avanza 2 sobre x₁, se corre 3 en la dirección de x₂ y se sube 1: el punto es el vértice de una caja con un vértice en el origen. Los tres planos coordenados (el plano x₁x₂, el x₁x₃ y el x₂x₃) parten el espacio en ocho octantes; en el plano x₁x₂ están los puntos con x₃ = 0.
Un cubo de lado 3 con un vértice en el origen y aristas sobre los ejes tiene sus ocho vértices con coordenadas 0 o 3: (0, 0, 0), (3, 0, 0), (0, 3, 0), (0, 0, 3), (3, 3, 0), (3, 0, 3), (0, 3, 3) y el opuesto al origen, (3, 3, 3).
Operaciones y combinaciones
Suma, resta y producto por un número se hacen lugar por lugar, como en ℝ²: con A = (1, −2, 3) y B = (0, 4, −1), 2A + B = (2, 0, 5). Una igualdad entre puntos de ℝ³ son tres ecuaciones, una por coordenada. Eso cambia las cuentas:
- αA + B = C tiene una incógnita y tres ecuaciones: el α que sale de una tiene que cumplir las otras dos, y si no las cumple, no existe.
- αu + βv = w tiene dos incógnitas y tres ecuaciones: se sacan α y β de dos coordenadas y se controla la tercera. Si falla, w no se puede escribir así.
La recta en ℝ³
Igual que en el plano: L: X = λ·v + P, con v ≠ 0 la dirección y P un punto de paso. La recta por A y B es X = λ(B − A) + A. Lo que no hay en ℝ³ es una ecuación implícita de una sola línea para una recta: una ecuación ax₁ + bx₂ + cx₃ = d es un plano. Una recta en implícitas son dos ecuaciones (se ve en 1.7).
El punto de L con x₃ = 0 (donde L atraviesa el plano x₁x₂): igualá a 0 la tercera coordenada del punto genérico, sacá λ y reemplazá en las tres.
Paralelas
Dos rectas de ℝ³ son paralelas si sus direcciones son múltiplos. Si además comparten un punto, son coincidentes. Para que la recta por (1, 1, 0) y (3, k, 4) sea paralela a una de dirección (1, 3, 2), la diferencia (2, k − 1, 4) tiene que ser un múltiplo de (1, 3, 2): la primera y la tercera coordenada dicen que el factor es 2, así que hace falta k − 1 = 2·3, o sea k = 7. Si con ningún k coincidieran los factores de todas las coordenadas, no habría forma de que fueran paralelas.
Las cuatro posiciones de dos rectas
Para ver si L₁: X = λ·v₁ + P₁ y L₂: X = μ·v₂ + P₂ se cortan, se igualan los puntos genéricos con parámetros distintos. Quedan tres ecuaciones con dos incógnitas, λ y μ:
2. Si no son paralelas, sacá λ y μ de dos ecuaciones y reemplazá en la tercera.
3. Si la tercera se cumple, se cortan en un punto, que sale de reemplazar λ en L₁ (y tiene que salir igual con μ en L₂).
4. Si la tercera no se cumple, no tienen puntos comunes y no son paralelas: son alabeadas.
En el plano, dos rectas no paralelas siempre se cortan. En el espacio hay lugar para que una pase «por delante» de la otra sin tocarla: pensá en una arista de arriba de un cubo y una de abajo que va en otra dirección.
El control que conviene hacer siempre
El punto de corte tiene que salir el mismo con λ en L₁ y con μ en L₂. Y cuando decidís que no se cortan, revisá que realmente usaste las tres ecuaciones: con dos incógnitas, dos ecuaciones siempre se pueden resolver; la tercera es la que decide.
Sea L la recta que pasa por A = (2, −1, 3) y B = (4, 0, 1). a) Dar una ecuación paramétrica de L. b) Hallar el punto de L con x₃ = 0. c) Decidir si (8, 2, −3) y (0, −2, 4) pertenecen a L.
a) La dirección es B − A = (2, 1, −2). Con A de punto de paso:
El punto genérico es (2λ + 2, λ − 1, −2λ + 3).
b) x₃ = 0 pide −2λ + 3 = 0, o sea λ = 3/2:
Es donde L atraviesa el plano x₁x₂.
c) Para (8, 2, −3): de la primera coordenada, 2λ + 2 = 8 da λ = 3. Controlo las otras: 3 − 1 = 2 ✔ y −6 + 3 = −3 ✔. Pertenece.
Para (0, −2, 4): 2λ + 2 = 0 da λ = −1. La segunda da −1 − 1 = −2 ✔, pero la tercera da 2 + 3 = 5, no 4. No pertenece.
Control: con λ = 1 la paramétrica da (4, 0, 1) = B ✔.
Dónde se pierde el punto: en c), dar (0, −2, 4) por bueno porque cumple las dos primeras coordenadas. Son tres ecuaciones y un solo λ: tiene que cumplir las tres.
Sean L₁: X = λ(1, 2, −1) + (0, 1, 3), L₂: X = μ(2, 0, 1) + (−1, 3, 1), L₃: X = t(−2, −4, 2) + (1, 0, 0) y L₄: X = t(0, 1, 1) + (2, 0, 0). Decidir la posición relativa de L₁ con cada una de las otras.
L₁ y L₂. Las direcciones (1, 2, −1) y (2, 0, 1) no son múltiplos. Igualo con parámetros distintos:
2λ + 1 = 3
−λ + 3 = μ + 1
La segunda da λ = 1; la primera, μ = 1. La tercera: −1 + 3 = 2 y 1 + 1 = 2 ✔. Se cortan en L₁(1) = (1, 3, 2); con μ = 1, L₂ da (1, 3, 2) ✔.
L₁ y L₃. (−2, −4, 2) = −2·(1, 2, −1): paralelas. ¿(1, 0, 0) está en L₁? La primera coordenada pide λ = 1, y entonces la segunda da 3, no 0. Paralelas distintas.
L₁ y L₄. (0, 1, 1) no es múltiplo de (1, 2, −1). Igualo:
2λ + 1 = t
−λ + 3 = t
Con λ = 2, la segunda da t = 5 y la tercera t = 1. Contradicción: no tienen puntos comunes, y no son paralelas. Alabeadas.
Dónde se pierde el ejercicio: con L₄, usar sólo las dos primeras ecuaciones (λ = 2, t = 5), dar el punto (2, 5, 1) como intersección y no ver que la tercera coordenada no coincide.
Dónde se cae la mayoría
- Igualar dos rectas usando el mismo parámetro: el punto común casi nunca sale con el mismo valor en las dos.
- Resolver λ y μ con dos coordenadas y no controlar la tercera: esa tercera ecuación es la que decide si se cortan o son alabeadas.
- Decir que dos rectas que no se cortan son paralelas: en ℝ³ también pueden ser alabeadas, y hay que mirar las direcciones.
- Declarar paralelas dos rectas porque una coordenada de las direcciones coincide: tienen que ser múltiplos con el mismo factor en las tres.
- Buscar una ecuación ax₁ + bx₂ + cx₃ = d para una recta: eso es un plano.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Puntos, vectores y rectas en ℝ³ →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — El plano, la recta que lo pincha y la que vive en él25 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 1
Rectas y planos en ℝ² y ℝ³
- 1.1 Puntos y vectores del plano
- 1.2 Rectas del plano: paramétrica, implícita y pendiente
- 1.3 Paralelas, intersección y posiciones relativas
- 1.4 Modelos lineales: costos, ganancias y punto de equilibrio
- 1.6 Planos en ℝ³: paramétrica e implícita
- 1.7 Intersecciones en ℝ³
- 1.8 Ecuación presupuestaria: recta y plano balance