Álgebra (71) · Unidad 1 — Rectas y planos en ℝ² y ℝ³
Modelos lineales: costos, ganancias y punto de equilibrio
Cuando algo crece de a un monto fijo por unidad, es una recta: la pendiente es lo que se paga (o se gana) por cada unidad y la ordenada al origen es lo fijo. El punto de equilibrio es donde el ingreso alcanza al costo, y «a partir de cuántas unidades» se contesta con una desigualdad y el primer entero que la cumple.
La explicación
Crecer linealmente
Una magnitud crece linealmente si por cada unidad de más (un año, un kilómetro, una unidad vendida) aumenta siempre lo mismo. Eso es una recta, y = mx + b, y en un problema cada número tiene su lectura:
- la pendiente m es la tasa: lo que cambia y por cada unidad de x (el precio por minuto, el costo de cada unidad, lo que crece la ganancia por año);
- la ordenada al origen b es lo fijo: lo que vale y cuando x = 0 (el cargo fijo, la bajada de bandera, el costo de tener el local abierto aunque no se venda nada).
La recta por dos datos
Si se conocen dos valores, (x₁, y₁) y (x₂, y₂), la pendiente es el cociente de las diferencias, y la ordenada sale de reemplazar uno de los datos:
y₁ = m·x₁ + b → b = y₁ − m·x₁
Por ejemplo, si una factura de 10 km cuesta $ 6400 y una de 30 km $ 14400, cada kilómetro cuesta (14400 − 6400)/20 = $ 400, y el fijo es 6400 − 400·10 = $ 2400.
Costo, ingreso y ganancia
Para una empresa que fabrica y vende q unidades:
I(q) = p·q (precio por unidad vendida)
G(q) = I(q) − C(q) = (p − c)·q − CF
La ganancia también es lineal: su pendiente p − c es lo que deja cada unidad (el margen), y su ordenada es −CF: sin vender nada, se pierde el costo fijo.
El punto de equilibrio
Es la cantidad con la que el ingreso cubre exactamente el costo: I(q) = C(q), o lo que es lo mismo, G(q) = 0.
2. Igualalos: p·q = CF + c·q.
3. Despejá: q = CF/(p − c). Se divide por el margen, no por el precio.
4. El costo (o el ingreso) en ese punto es C(q) evaluado ahí; los dos tienen que dar lo mismo.
Con menos unidades que el equilibrio se pierde; con más, se gana. Si la empresa hizo una inversión inicial y cada unidad le deja un monto fijo, su balance es G(x) = (ganancia por unidad)·x − inversión, y recupera la inversión cuando G(x) = 0.
Dos empresas: ¿a partir de cuántas?
Con dos balances lineales G_A y G_B, el punto donde se igualan es la solución de G_A(x) = G_B(x): ahí las dos rectas se cortan. De un lado del cruce gana más una, del otro lado la otra. La pregunta «a partir de cuántas unidades A gana más que B» es una desigualdad:
Se resuelve como una ecuación, con cuidado: si se divide por un número negativo, la desigualdad se da vuelta. Como las unidades se cuentan enteras y la desigualdad es estricta, la respuesta es el primer entero que la cumple: si da x > 150, es 151 (en 150 empatan); si da x > 87,5, es 88.
El control que conviene hacer siempre
Evaluá tu fórmula en los dos datos del enunciado: tienen que salir exactos. Y en un punto de equilibrio, calculá costo e ingreso por separado: si no dan lo mismo, la cuenta está mal. La respuesta va con su unidad y su lectura: «hay que vender 45 docenas», no «q = 45».
Una panadería tiene costos fijos de $ 36000 por mes, cada docena de facturas le cuesta $ 450 y la vende a $ 1250. a) Escribir el costo, el ingreso y la ganancia en función de las docenas vendidas. b) Hallar el punto de equilibrio y el costo en ese punto. c) ¿Cuánto gana si vende 60 docenas?
a) Con q docenas:
I(q) = 1250q
G(q) = 1250q − 36000 − 450q = 800q − 36000
Cada docena deja un margen de $ 800: es la pendiente de la ganancia.
b) Igualo ingreso y costo:
El punto de equilibrio es de 45 docenas. El costo ahí es C(45) = 36000 + 450·45 = $ 56250, y el ingreso, 1250·45 = $ 56250: dan lo mismo, como tiene que ser.
c) G(60) = 800·60 − 36000 = $ 12000. Son 15 docenas por encima del equilibrio, y cada una deja $ 800: 15·800 = 12000 ✔.
Dónde se pierde el punto: en b), dividir 36000 por 1250 (da 28,8). Eso sería cierto si las facturas no costaran nada; cada docena primero tiene que pagar sus $ 450, y lo que sobra, $ 800, es lo que va cubriendo el costo fijo.
Un flete A cobra $ 6000 fijos más $ 250 por km. Del flete B se sabe que un viaje de 10 km costó $ 6400 y uno de 30 km, $ 14400, y que también cobra un fijo más un monto por km. a) Escribir la tarifa de B. b) ¿Para qué distancia cuestan lo mismo? c) ¿A partir de cuántos kilómetros enteros conviene A?
a) La tarifa de B es una recta que pasa por (10, 6400) y (30, 14400):
6400 = 400·10 + b → b = 2400
T_B(x) = 2400 + 400x: $ 2400 fijos y $ 400 por km. Control: T_B(30) = 2400 + 12000 = 14400 ✔. La de A es T_A(x) = 6000 + 250x.
b) Igualo:
A 24 km cuestan lo mismo: T_A(24) = 6000 + 6000 = $ 12000 y T_B(24) = 2400 + 9600 = $ 12000 ✔.
c) A conviene cuando es más barato: 6000 + 250x < 2400 + 400x, o sea 3600 < 150x, x > 24. El primer entero es 25 km: a partir de 25 km conviene A. Tiene sentido: A tiene más fijo pero cobra menos por km, así que gana en los viajes largos.
Dónde se pierde el ejercicio: contestar 24 en c). En 24 km cuestan lo mismo; «conviene» pide que sea estrictamente más barato.
Dónde se cae la mayoría
- Dividir el costo fijo por el precio para hallar el equilibrio: se divide por el margen p − c, porque cada unidad también tiene su costo.
- Confundir la pendiente con la ordenada: el precio por unidad es la pendiente y el cargo fijo es la ordenada al origen.
- Contestar «a partir de 150» cuando en 150 empatan: si la desigualdad es estricta, la respuesta es el primer entero que la cumple.
- Redondear para abajo un equilibrio que no da entero: si da 87,5, con 87 no alcanza.
- En la recta por dos datos, dividir las diferencias al revés: es la diferencia de y sobre la diferencia de x.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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