Álgebra (71) · Unidad 1 — Rectas y planos en ℝ² y ℝ³
Paralelas, intersección y posiciones relativas
Dos rectas del plano son paralelas si tienen la misma pendiente (o direcciones múltiplos una de la otra). Si no son paralelas se cortan en un solo punto, que sale de resolver el sistema de sus dos ecuaciones; si son paralelas, o coinciden o no tienen ningún punto en común.
La explicación
Cuándo dos rectas son paralelas
Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente, o si las dos son verticales. Según cómo estén escritas, se mira una cosa u otra:
- En paramétrica: las direcciones son múltiplos. X = λ(2, −1) + (0, 3) y X = λ(−6, 3) + (1, 1) son paralelas porque (−6, 3) = −3·(2, −1).
- En explícita: la misma m.
- En implícita: los primeros miembros son proporcionales. 3x − 2y = 4 y −6x + 4y = 3 lo son (el segundo es −2 veces el primero).
Dos paralelas pueden ser coincidentes (la misma recta) o no tener ningún punto en común. Se distingue con un punto: si un punto de una está en la otra, coinciden. Con implícitas se ve en el término independiente: −6x + 4y = −8 es 3x − 2y = 4 multiplicada por −2, término independiente incluido, y es la misma recta; −6x + 4y = 3 multiplica el primer miembro pero no el término, y es otra recta, paralela.
La paralela por un punto
Se conserva la dirección y se cambia el punto de paso. En paramétrica: la misma v con el punto nuevo. En implícita: el mismo primer miembro y un término independiente nuevo, que sale de reemplazar el punto. La paralela a 2x + 5y = 1 por (3, −2) es 2x + 5y = 2·3 + 5(−2) = −4.
La intersección es un sistema
Un punto común tiene que cumplir las dos ecuaciones a la vez. Cómo se plantea depende de cómo vengan:
Implícita con explícita: se reemplaza la y de la explícita en la implícita.
Dos implícitas: un sistema de 2×2; se despeja una variable de una y se reemplaza en la otra.
Dos paramétricas: se igualan los dos puntos genéricos, coordenada a coordenada, y quedan dos ecuaciones con los dos parámetros.
Dos paramétricas: renombrar el parámetro
Si las dos rectas usan la misma letra, hay que cambiarle el nombre a una antes de igualar. El punto común casi nunca sale con el mismo valor del parámetro en las dos rectas. Con L₃: X = α(1, 2) + (0, 1) y L₄: X = α(1, −1) + (3, 1), si se iguala con la misma α queda α = α + 3, un absurdo que haría creer que no se cortan. Renombrando β el de L₄:
2α + 1 = −β + 1
→ 2β + 6 = −β → β = −2, α = 1
El punto es (1, 3): L₃ lo da con α = 1 y L₄ con β = −2. Valores distintos: por eso hacía falta otra letra.
Las tres posiciones, leídas del sistema
Al resolver el sistema pasa una de tres cosas:
- sale una solución: las rectas se cortan en un punto (no son paralelas);
- se llega a un absurdo (como 0 = 5): son paralelas no coincidentes;
- se llega a 0 = 0: son coincidentes, y todos los puntos de una están en la otra.
Mirar las pendientes antes ahorra cuentas: pendientes distintas garantizan un único punto de corte.
El control que conviene hacer siempre
El punto de intersección que encontraste se reemplaza en las dos rectas, no sólo en la que usaste al final. Con dos paramétricas, cada una tiene que dar el punto con su propio valor del parámetro.
a) Hallar la intersección de L₁: 2x − y = 1 y L₂: X = α(1, 1) + (0, 3). b) Hallar la intersección de L₃: X = α(1, 2) + (0, 1) y L₄: X = α(1, −1) + (3, 1).
a) Implícita con paramétrica. Un punto de L₂ es (α, α + 3). Para estar en L₁ tiene que cumplir su ecuación:
α − 3 = 1 → α = 4
El punto sale de la paramétrica con α = 4: L₁ ∩ L₂ = {(4, 7)}. Control en L₁: 2·4 − 7 = 1 ✔
b) Dos paramétricas con la misma letra. Primero renombro: L₄: X = β(1, −1) + (3, 1). Igualo los puntos genéricos:
α = β + 3
2α + 1 = −β + 1
Reemplazo la primera en la segunda: 2(β + 3) + 1 = −β + 1, o sea 3β = −6 y β = −2; entonces α = 1.
L₃ ∩ L₄ = {(1, 3)}.
Dónde se pierde el punto: en b), igualar sin renombrar. Queda α = α + 3, o sea 0 = 3, y se contesta «no se cortan». Las pendientes (2 y −1) ya decían que se cortan: el absurdo era de la letra, no de las rectas.
Sean L₁: 3x − 2y = 4, L₂: −6x + 4y = −8, L₃: −6x + 4y = 3 y L₄: x + y = 3. a) Decidir la posición relativa de L₁ con cada una de las otras. b) Dar la recta paralela a L₅: X = t(1, 4) que pasa por L₁ ∩ L₄.
a) L₁ y L₂: −6x + 4y = −8 es 3x − 2y = 4 multiplicada por −2, término independiente incluido. Son coincidentes. Resolviendo el sistema, sumarle a la segunda el doble de la primera da 0 = 0.
L₁ y L₃: el primer miembro es −2 veces el de L₁, pero −2·4 = −8 ≠ 3. Son paralelas no coincidentes: el sistema da 0 = 11.
L₁ y L₄: las pendientes son 3/2 y −1: se cortan. De L₄, y = 3 − x; en L₁:
L₁ ∩ L₄ = {(2, 1)}. Control: 6 − 2 = 4 ✔ y 2 + 1 = 3 ✔
b) La dirección de L₅ es (1, 4), pendiente 4. La paralela por (2, 1): y = 4x + b con 1 = 8 + b, y = 4x − 7. En paramétrica, X = t(1, 4) + (2, 1).
Dónde se pierde el ejercicio: en a), decir que L₁ y L₃ son la misma recta porque «tienen los mismos coeficientes multiplicados». El término independiente también tiene que multiplicarse por lo mismo.
Dónde se cae la mayoría
- Igualar dos paramétricas con la misma letra: el punto común suele salir con valores distintos del parámetro, y con una sola letra aparece un absurdo que no existe.
- Decir que dos rectas con primeros miembros proporcionales son la misma recta sin mirar el término independiente: si no guarda la misma proporción, son paralelas distintas.
- Para la paralela por un punto en implícita, cambiar el primer miembro: lo que se conserva es el primer miembro, y lo que cambia es el término independiente.
- Reemplazar el parámetro en la ecuación equivocada: una vez que tenés λ, el punto sale de la paramétrica, no de la implícita.
- Controlar el punto de corte en una sola de las dos rectas.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Paralelas, intersección y posiciones relativas →Los otros temas de la unidad 1
Rectas y planos en ℝ² y ℝ³
- 1.1 Puntos y vectores del plano
- 1.2 Rectas del plano: paramétrica, implícita y pendiente
- 1.4 Modelos lineales: costos, ganancias y punto de equilibrio
- 1.5 Puntos, vectores y rectas en ℝ³
- 1.6 Planos en ℝ³: paramétrica e implícita
- 1.7 Intersecciones en ℝ³
- 1.8 Ecuación presupuestaria: recta y plano balance