Álgebra (71) · Unidad 1 — Rectas y planos en ℝ² y ℝ³
Planos en ℝ³: paramétrica e implícita
Un plano de ℝ³ queda fijado por tres puntos no alineados. Su paramétrica usa dos direcciones y un punto, X = α·u + β·v + P, y su implícita es una sola ecuación ax₁ + bx₂ + cx₃ = d, que se consigue eliminando α y β o planteando la ecuación con los tres puntos.
La explicación
De una recta a un plano: dos direcciones
Los puntos de la forma α·u + β·v, con u y v no múltiplos uno del otro, forman un plano que pasa por el origen: con β = 0 se recorre la recta de u, con α = 0 la de v, y sumando un punto de cada una se llega a cualquier punto del plano que contiene a las dos. Si a todo eso se le suma un punto fijo P, el plano se traslada y pasa por P:
Es la ecuación paramétrica del plano: u y v son sus direcciones y P un punto de paso. Cada par (α, β) da un punto.
El plano por tres puntos
Por tres puntos A, B y C no alineados pasa un único plano. Las flechas B − A y C − A están en él, así que sirven de direcciones:
Si B − A y C − A fueran múltiplos, los tres puntos estarían sobre una misma recta, y por una recta pasan infinitos planos: no alcanza para fijar uno.
Los planos coordenados y sus paralelos
- El plano x₁x₂ (el «piso») son los puntos con x₃ = 0: X = α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0).
- El x₁x₃ es x₂ = 0, y el x₂x₃ es x₁ = 0.
- El paralelo al plano x₁x₂ que pasa por (0, 0, 2) es x₃ = 2: el piso subido dos unidades. En general, el paralelo a un plano coordenado por un punto fija la coordenada que el plano coordenado tenía en 0.
La implícita, eliminando los parámetros
Un plano también es el conjunto de soluciones de una sola ecuación ax₁ + bx₂ + cx₃ = d. Para sacarla de la paramétrica se escriben las tres coordenadas y se eliminan α y β: se despejan de dos ecuaciones y se reemplazan en la tercera. Con Π: X = α(1, 2, 0) + β(0, 1, 1) + (2, 1, 0):
x₃ = β → β = x₃
x₂ = 2α + β + 1 = 2(x₁ − 2) + x₃ + 1
2x₁ − x₂ + x₃ = 3
Conviene despejar los parámetros de las coordenadas donde aparecen solos.
La implícita, con los tres puntos
El otro camino: se escribe ax₁ + bx₂ + cx₃ = d y se pide que A, B y C la cumplan. Quedan tres ecuaciones con cuatro incógnitas (a, b, c, d); tiene infinitas soluciones porque la ecuación de un plano se puede multiplicar por cualquier número distinto de 0. Se le da un valor cómodo a una de las incógnitas y se despejan las otras.
2. Si uno de los puntos es el origen, ya sabés que d = 0.
3. Resolvé el sistema dejando una incógnita libre y dale un valor (el que evite fracciones).
4. Controlá con el tercer punto que no usaste para despejar.
Pertenencia y planos que contienen una recta
Con la implícita, decidir si un punto está en el plano es reemplazar: 2·0 − 0 + 3 = 3, así que (0, 0, 3) está en el plano de arriba; 2 − 1 + 1 = 2 ≠ 3, así que (1, 1, 1) no. Un plano que contenga a una recta dada no es único: la recta aporta un punto y una dirección, y hace falta un punto más, fuera de la recta. Con distintos puntos de afuera salen distintos planos, todos girando alrededor de la recta.
La paralela a un plano por un punto conserva el primer miembro de la implícita y cambia d, igual que con las rectas del plano.
El control que conviene hacer siempre
Los tres puntos del enunciado tienen que cumplir la implícita que escribiste. Si partiste de una paramétrica, además, cada dirección (a, b, c) tiene que dar 0 en el primer miembro: a·u₁ + b·u₂ + c·u₃ = 0, porque moverse en una dirección del plano no cambia el valor de la ecuación.
Sea Π el plano que pasa por A = (2, 1, 0), B = (3, 3, 0) y C = (2, 2, 1). a) Dar una ecuación paramétrica de Π. b) Dar una ecuación implícita. c) Decidir si (0, 0, 3) y (1, 1, 1) pertenecen a Π.
a) Las direcciones son las diferencias con A:
v = C − A = (0, 1, 1)
No son múltiplos (la tercera coordenada de u es 0 y la de v no), así que los puntos no están alineados. Π: X = α(1, 2, 0) + β(0, 1, 1) + (2, 1, 0).
b) Escribo las coordenadas y elimino α y β:
x₃ = β → β = x₃
x₂ = 2α + β + 1 = 2x₁ − 4 + x₃ + 1
Pasando todo a un lado: 2x₁ − x₂ + x₃ = 3.
Control con los tres puntos: A: 4 − 1 + 0 = 3 ✔; B: 6 − 3 + 0 = 3 ✔; C: 4 − 2 + 1 = 3 ✔. Y con las direcciones: 2·1 − 2 + 0 = 0 ✔, 0 − 1 + 1 = 0 ✔.
c) (0, 0, 3): 0 − 0 + 3 = 3 ✔, pertenece. (1, 1, 1): 2 − 1 + 1 = 2 ≠ 3, no pertenece.
Dónde se pierde el punto: en b), al pasar los términos de lado. De x₂ = 2x₁ + x₃ − 3 sale 2x₁ − x₂ + x₃ = 3; si el −3 queda del lado equivocado, el control con A da −3 y avisa.
Sea L: X = λ(1, 0, −1) + (0, 2, 1). a) Hallar una ecuación implícita del plano que contiene a L y pasa por el origen. b) ¿Hay un único plano que contenga a L?
a) Dos puntos de L salen de λ = 0 y λ = 1: (0, 2, 1) y (1, 2, 0). Con el origen son tres puntos no alineados (el origen no está en L: la primera coordenada pediría λ = 0, y entonces la segunda sería 2).
Planteo ax₁ + bx₂ + cx₃ = d con los tres puntos:
(0, 2, 1): 2b + c = 0
(1, 2, 0): a + 2b = 0
Tomo b = −1: c = 2 y a = 2. El plano es 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 0.
Control: la dirección de L da 2·1 − 0 + 2(−1) = 0 ✔, y el punto de paso, 0 − 2 + 2 = 0 ✔: toda la recta está en el plano.
b) No. Cualquier punto de afuera de L da otro plano que la contiene. Con (0, 0, 5) en lugar del origen, por ejemplo, sale x₁ + 2x₂ + x₃ = 5, que también cumple (0, 2, 1) y (1, 2, 0). Todos los planos que contienen a L giran alrededor de ella, como las hojas de un libro alrededor del lomo.
Dónde se pierde el ejercicio: usar dos puntos de L y un tercero que también está en L. Son tres puntos alineados, y el sistema queda con dos incógnitas libres: no fija ningún plano.
Dónde se cae la mayoría
- Usar como direcciones los puntos A, B y C en lugar de las diferencias B − A y C − A.
- Tomar tres puntos alineados como si fijaran un plano: por una recta pasan infinitos planos.
- Confundir el plano x₁x₂ con x₁ = 0: el plano x₁x₂ es el de los puntos con x₃ = 0.
- Eliminar un solo parámetro y dar por terminada la implícita: la ecuación final no puede tener ni α ni β.
- Dar la implícita sin controlarla con el tercer punto, que suele ser el que caza un signo mal.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Planos en ℝ³: paramétrica e implícita →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — El plano, la recta que lo pincha y la que vive en él25 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 1
Rectas y planos en ℝ² y ℝ³
- 1.1 Puntos y vectores del plano
- 1.2 Rectas del plano: paramétrica, implícita y pendiente
- 1.3 Paralelas, intersección y posiciones relativas
- 1.4 Modelos lineales: costos, ganancias y punto de equilibrio
- 1.5 Puntos, vectores y rectas en ℝ³
- 1.7 Intersecciones en ℝ³
- 1.8 Ecuación presupuestaria: recta y plano balance