Álgebra (71) · Parcial modelo
Primer parcial de Álgebra (71), resuelto paso a paso
Es un parcial modelo, escrito por nosotros. No es el parcial de ninguna cátedra ni de ninguna fecha: está armado con el temario y el formato de los que se toman, para que puedas practicar con algo parecido.
Rectas y planos en ℝ³, la ecuación presupuestaria con un sistema de soluciones enteras, un sistema con dos parámetros y dos subespacios de ℝ⁴: las prácticas 1 a 3.
4 ejercicios, 20 preguntas, 120 minutos. Se aprueba con 60 sobre 100.
Las consignas
Cuatro ejercicios, dos horas. Cada ejercicio vale 25 puntos, repartidos en partes iguales entre sus cinco ítems. Sin calculadora: las cuentas están pensadas para hacerse a mano.
Qué entra: las prácticas 1, 2 y 3 (rectas y planos, sistemas de ecuaciones, espacios vectoriales). El aula publica la fecha del parcial pero no el temario, así que el corte es una suposición: si en tu comisión dicen otra cosa, hacele caso a tu comisión.
Cómo se escribe cada cosa:
· Los puntos y los vectores, entre paréntesis y con comas:
(1, -2, 0).
· Dos valores juntos, en el orden que pide la consigna y con una
y en el medio: 4 y -1.
· Una expresión en t como la escribirías en la hoja:
3 - 2t.
· Las fracciones como fracción: -2/5. Cuando se pide
el valor de un parámetro, va el número solo (o «k = 3», también vale).
Una advertencia que no es un detalle: acá se corrige el resultado, porque es lo único que una pantalla puede leer. En el parcial de verdad se pide el desarrollo, y un «compatible indeterminado» sin la matriz escalonada que lo justifica no suma. Resolvelo en papel, como si lo fueran a leer, y después pasá los resultados.
Y este parcial se pierde casi siempre en los mismos lugares: creer que una recta paralela a un plano no lo toca, contar soluciones enteras sin mirar que ninguna cantidad dé negativa, encontrar uno solo de los valores que anulan un coeficiente, y decidir la dimensión contando generadores.
Ejercicio 1 — El plano, la recta que lo pincha y la que vive en él 25 puntos
Sea Π el plano que pasa por A = (1, 2, 0), B = (3, 1, 1) y C = (2, 0, 3). Sea L la recta que pasa por D = (3, 2, 2) y E = (1, 1, 3). Para cada k ∈ ℝ, sea M la recta M: X = μ(k, 2, −3) + (0, 1, 2).
- a) Escribí la ecuación implícita de Π en la forma x₁ + b·x₂ + c·x₃ = d y dá la terna (b, c, d). (formato: (b, c, d))
- b) ¿En qué punto corta L al plano Π? (formato: (a, b, c))
- c) ¿Para qué valor de k la recta M es paralela al plano Π?
- d) Con ese valor de k, ¿cómo están M y Π?
- e) Con ese valor de k, ¿cuál es la posición relativa de L y M?
El ejercicio tiene un solo protagonista, el plano, y dos rectas que se relacionan con él de formas distintas. Conviene sacar primero la implícita de Π, porque todo lo demás se decide reemplazando en ella.
a) Sin normal, la implícita sale de la paramétrica eliminando los parámetros. Con A como punto de paso y B − A = (2, −1, 1), C − A = (1, −2, 3) como direcciones:
x₂ = 2 − α − 2β
x₃ = α + 3β
De las dos primeras: x₁ + 2x₂ = 5 − 3β, o sea β = (5 − x₁ − 2x₂)/3; y 2x₁ + x₂ = 4 + 3α da α = (2x₁ + x₂ − 4)/3. Reemplazando en la tercera y multiplicando por 3:
(b, c, d) = (5, 3, 11)
El otro camino, que muchos prefieren: plantear x₁ + b·x₂ + c·x₃ = d y pedir que lo cumplan los tres puntos. Da un sistema de tres ecuaciones en b, c y d con la misma respuesta. Control: A da 1 + 10 + 0 = 11, B da 3 + 5 + 3 = 11, C da 2 + 0 + 9 = 11 ✓.
b) L tiene dirección E − D = (−2, −1, 1): L: X = λ(−2, −1, 1) + (3, 2, 2). El punto genérico se reemplaza en la implícita:
L ∩ Π = 2·(−2, −1, 1) + (3, 2, 2) = (−1, 0, 4)
Control: −1 + 0 + 12 = 11 ✓. El que despeja λ = −2 llega a (7, 4, 0), y el control lo caza: 7 + 20 + 0 = 27.
c) Lo mismo con M, pero ahora lo que se busca es que el reemplazo no dependa de μ: si no hay término en μ, no hay ningún μ que «resuelva» y la recta no atraviesa el plano.
sin término en μ ⇔ k = −1
La cuenta de la 71 sin normal es ésta, y dice lo mismo que pedir que la dirección (k, 2, −3) sea combinación de B − A y C − A: el sistema sólo cierra con k = −1, y da (−1, 2, −3) = 0·(B − A) − (C − A). M va en la dirección de un lado del triángulo ABC.
d) Con k = −1 el reemplazo queda 11 = 11, que vale para todo μ: cada punto de M cumple la implícita. M está contenida en Π.
e) Dos rectas en ℝ³ se miran en dos pasos. Las direcciones: (−2, −1, 1) y (−1, 2, −3) no son múltiplos (para pasar de la primera coordenada a la segunda habría que multiplicar por 1/2 y por −2 a la vez), así que no son paralelas ni coincidentes. ¿Se cortan? Se igualan los dos puntos genéricos, con parámetros distintos:
2 − λ = 1 + 2μ
2 + λ = 2 − 3μ
De la primera, μ = 2λ − 3; en la segunda, 2 − λ = 4λ − 5, así que λ = 7/5 y μ = −1/5. En la tercera, 2 + 7/5 = 17/5 contra 2 + 3/5 = 13/5. No cierra: no hay punto común. Son alabeadas.
Los otros dos lugares donde se va puntaje: usar la misma letra para los dos parámetros al igualar (con λ = μ el sistema da absurdo aunque las rectas se corten), y contestar d) sin mirar un punto de M.
Si te costó, está explicado en: 1.6 Planos en ℝ³: paramétrica e implícita · 1.7 Intersecciones en ℝ³ · 1.5 Puntos, vectores y rectas en ℝ³
Ejercicio 2 — El presupuesto y el bulto de 26 cajas 25 puntos
Una librería arma su pedido semanal a un mayorista. Las cajas de lápices cuestan $ 3 mil cada una, las de marcadores $ 4 mil y las de témperas $ 5 mil. Tiene un presupuesto de $ 110 mil y quiere gastarlo entero. Llamamos x, y, z a las cantidades de cajas de lápices, de marcadores y de témperas. Además, el mayorista despacha en bultos cerrados: el pedido tiene que tener exactamente 26 cajas en total.
- a) Si gastara sólo en cajas de marcadores, sin la condición del bulto, ¿cuántas podría comprar como máximo? (sólo el número)
- b) Si no comprara témperas, la ecuación presupuestaria sería una recta del plano x y. ¿Cuál es su pendiente? (como fracción)
- c) Con las dos condiciones (el presupuesto y el bulto), llamá t a la cantidad de cajas de témperas. Escribí y en función de t.
- d) ¿Cuántos pedidos distintos cumplen las dos condiciones? (las cantidades son enteras y no negativas; sólo el número)
- e) De esos pedidos, ¿cuál es el que lleva más cajas de témperas? (formato: (lápices, marcadores, témperas))
La ecuación presupuestaria, en miles de pesos, es el plano balance
y el bulto agrega otra ecuación, x + y + z = 26. Los ítems a) y b) usan sólo el presupuesto; c), d) y e), las dos.
a) Gastar todo en marcadores es buscar el corte del plano balance con el eje y: 4y = 110, y = 27,5. Pero las cajas son enteras: 27 cajas cuestan $ 108 mil, y 28 cajas, $ 112 mil, ya se pasan. Con témperas, en cambio, el corte es exacto: 110/5 = 22 cajas justas. Con lápices, 110/3 ≈ 36,7: otra vez hay que redondear para abajo.
b) Sin témperas, z = 0 y queda la recta balance del plano x y:
Negativa, como toda recta balance: para comprar más de una cosa hay que resignar de la otra. Y el número tiene lectura: una caja de lápices cuesta 3/4 de lo que cuesta una de marcadores.
c) El sistema de las dos condiciones tiene tres incógnitas y dos ecuaciones independientes: una variable libre. Escalonando (a la primera se le resta tres veces la segunda):
y + 2z = 32
Con z = t: y = 32 − 2t, y x = 26 − (32 − 2t) − t = t − 6. En forma paramétrica, (x, y, z) = t·(1, −2, 1) + (−6, 32, 0). Control con t = 10: (4, 12, 10) da 12 + 48 + 50 = 110 ✓ y 26 cajas ✓. Geométricamente es la recta donde se cortan los dos planos.
d) Ahora vienen las condiciones que no están en el sistema pero sí en el problema: cantidades enteras y no negativas. Cada coordenada pone una cota a t:
y = 32 − 2t ≥ 0 ⇒ t ≤ 16
z = t ≥ 0
Quedan t = 6, 7, …, 16: 11 pedidos. Como la paramétrica tiene coeficientes enteros, cada t entero da cantidades enteras, y no hay que descartar ninguno más.
e) Las témperas son t, así que el pedido con más témperas es el del mayor t, t = 16:
El otro extremo, t = 6, es el pedido con más marcadores, (0, 20, 6). Entre los dos está todo el segmento de la animación: los once pedidos son sus puntos de coordenadas enteras.
Si te costó, está explicado en: 1.8 Ecuación presupuestaria: recta y plano balance · 2.4 Problemas: mezclas, producción y soluciones enteras · 2.1 Soluciones de un sistema y sistemas escalonados · 1.2 Rectas del plano: paramétrica, implícita y pendiente
Ejercicio 3 — Dos parámetros: cuándo hay solución y cuál 25 puntos
Sea el sistema, con a y b números reales: x₁ + x₂ − x₃ = 2 ; 2x₁ + 3x₂ + x₃ = 5 ; x₁ + 2x₂ + (a² − a − 4)x₃ = b − a.
- a) ¿Para qué valores de a el sistema tiene solución única, cualquiera sea b?
- b) De los valores de a que no dan solución única, tomá el mayor. ¿Para qué b el sistema es compatible? (sólo el número)
- c) Ahora tomá el menor de esos valores de a, con el b que lo hace compatible. Llamando t a x₃, escribí x₁ en función de t.
- d) Con esos mismos valores de a y b, ¿cuál es la solución del sistema que además cumple x₁ − x₃ = 7? (formato: (a, b, c))
- e) Para a = 1, se sabe que (−3, 4, −1) es una solución del sistema. ¿Cuánto vale b?
Con parámetros, lo primero es triangular con los parámetros adentro y no dividir por nada que pueda valer cero. La ampliada:
( 2 3 1 | 5 )
( 1 2 a² − a − 4 | b − a )
F₃ − F₁: ( 0 1 a² − a − 3 | b − a − 2 )
F₃ − F₂: ( 0 0 a² − a − 6 | b − a − 3 )
Y a² − a − 6 = (a − 3)(a + 2). Toda la clasificación sale de esa última fila.
a) Si (a − 3)(a + 2) ≠ 0, la última fila despeja x₃ y el sistema escalonado tiene tres escalones: rg A = rg A′ = 3, compatible determinado para todo b. Eso pasa para todo a distinto de 3 y de −2. En esos dos valores el coeficiente se anula, y lo que decide es el número de la derecha.
b) Con a = 3 (el mayor) la última fila es ( 0 0 0 | b − 6 ):
b = 6: 0 = 0 → compatible indeterminado (rg A = rg A′ = 2)
Con a = −2 la fila es ( 0 0 0 | b − 1 ): compatible sólo con b = 1.
c) Con a = −2 y b = 1 quedan dos escalones y una variable libre, x₃ = t:
x₁ = 2 − x₂ + x₃ = 2 − (1 − 3t) + t = 1 + 4t
X = t(4, −3, 1) + (1, 1, 0)
Control con t = 1: (5, −2, 1) da 5 − 2 − 1 = 2 ✓, 10 − 6 + 1 = 5 ✓ y 5 − 4 + 2 = 3 ✓ (con a = −2 la tercera ecuación es x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 3). Un detalle curioso: con a = 3 y b = 6 la tercera ecuación es exactamente la misma, x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 3, porque a² − a − 4 vale 2 en los dos y b − a vale 3 en los dos. Son dos pares de parámetros y un solo sistema.
d) Agregar una condición es agregar una ecuación, y la manera corta es reemplazar la paramétrica en ella:
Control en las cuatro: 9 − 5 − 2 = 2 ✓, 18 − 15 + 2 = 5 ✓, 9 − 10 + 4 = 3 ✓ y 9 − 2 = 7 ✓. Un solo t: la recta de soluciones corta al plano x₁ − x₃ = 7 en un punto.
e) Una solución conocida es un dato sobre los parámetros: se reemplaza. Las dos primeras ecuaciones no tienen parámetros y (−3, 4, −1) las cumple (−3 + 4 + 1 = 2, −6 + 12 − 1 = 5). La tercera, con a = 1, es x₁ + 2x₂ − 4x₃ = b − 1:
Control por el otro lado: con a = 1 y b = 10, la última fila da −6x₃ = 10 − 1 − 3 = 6, x₃ = −1 ✓, y como (1 − 3)(1 + 2) ≠ 0 esa solución es la única.
Si te costó, está explicado en: 2.5 Clasificar según un parámetro · 2.6 Parámetros desde condiciones: una solución conocida, compatibilidad, soluciones en común · 2.2 Método de Gauss, rango y clasificación · 2.3 Sistemas con una condición más
Ejercicio 4 — Tres generadores que alcanzan con dos 25 puntos
Sean S = {x ∈ ℝ⁴ / x₁ − x₃ + x₄ = 0, x₂ + x₃ − 2x₄ = 0} y, para cada k ∈ ℝ, T = ⟨(0, 1, 1, 1), (2, −3, 1, −1), (1, 0, 2, k)⟩.
- a) ¿Cuánto vale dim S?
- b) Hallar a y b para que v = (1, a, 3, b) pertenezca a S. Dá a y b, en ese orden. (formato: a y b)
- c) ¿Cuál de estos vectores forma, junto con ese v, una base de S?
- d) ¿Para qué valor de k los tres generadores de T no son linealmente independientes?
- e) Con ese valor de k, ¿cuál es la relación entre S y T?
a) Las dos ecuaciones de S no son una múltiplo de la otra (la primera tiene x₁ y la segunda no), así que cada una baja la dimensión en uno. Para tener una base, se despeja:
x = (x₃ − x₄, 2x₄ − x₃, x₃, x₄) = x₃·(1, −1, 1, 0) + x₄·(−1, 2, 0, 1)
Control: los dos generadores cumplen las dos ecuaciones (1 − 1 + 0 = 0, −1 + 1 − 0 = 0; −1 − 0 + 1 = 0, 2 + 0 − 2 = 0 ✓) y no son múltiplos.
b) Pertenecer a S es cumplir sus ecuaciones:
a + 3 − 2b = 0 ⇒ a = 1
a = 1 y b = 2: v = (1, 1, 3, 2)
Control con la base de a): v = 3·(1, −1, 1, 0) + 2·(−1, 2, 0, 1) = (1, 1, 3, 2) ✓ (los coeficientes son su x₃ y su x₄).
c) Como dim S = 2, dos vectores de S que sean l.i. ya son una base: no hace falta ver que generan. Se prueba cada opción con las dos condiciones:
(2, 2, 6, 4) = 2v: en S, pero dependiente ✘
(0, 0, 1, 1): 0 − 1 + 1 = 0, pero 0 + 1 − 2 = −1 ≠ 0 ✘
(1, 0, 0, 0): 1 − 0 + 0 = 1 ≠ 0 ✘
El tercero es el distractor fino: cumple la primera ecuación, y quien controla una sola lo da por bueno.
d) Los dos primeros generadores, t₁ = (0, 1, 1, 1) y t₂ = (2, −3, 1, −1), no son múltiplos. Los tres son dependientes exactamente cuando t₃ = (1, 0, 2, k) es combinación de ellos:
1.ª: 2β = 1 ⇒ β = 1/2 · 2.ª: α − 3β = 0 ⇒ α = 3/2
3.ª: α + β = 2 ✓ · 4.ª: α − β = 1 = k ⇒ k = 1
Sin fracciones: 2t₃ = 3t₁ + t₂. El otro camino es Gauss con los tres como filas (es la animación): con k = 1 aparece una fila de ceros, y con otro k la cuarta columna la impide.
e) Con k = 1, los tres generadores de T cumplen las dos ecuaciones de S:
t₃: 1 − 2 + 1 = 0, 0 + 2 − 2 = 0 ✓
Si los generadores están en S, todas sus combinaciones también (S es un subespacio): T ⊂ S. Y dim T = 2 = dim S. Un subespacio contenido en otro con la misma dimensión es el mismo: T = S. Control independiente: v = t₁ + t₃, o sea que el v de b) también está en T.
Si te costó, está explicado en: 3.4 Bases y dimensión · 3.2 Subespacios: generados y dados por ecuaciones · 3.3 Generadores e independencia lineal · 3.5 Extender a una base y bases con condiciones
Leerlo resuelto no es lo mismo que rendirlo. Acá lo podés hacer entero sin que te corrija nada hasta entregarlo, igual que en el aula, y recién ahí te dice la nota, cómo se resolvía cada ejercicio y a qué temas te conviene volver.
Rendir el primer parcial →También está resuelto el segundo parcial de Álgebra (71).
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