Álgebra (71) · Unidad 2 — Sistemas de ecuaciones lineales
Clasificar según un parámetro
Con un parámetro k en el sistema, se triangula como si k fuera un número, con cuidado de no dividir por algo que pueda valer 0. Al final la última fila queda ( 0 0 f(k) | g(k) ): si f(k) ≠ 0 es compatible determinado; si f(k) = 0 y g(k) = 0, indeterminado; si f(k) = 0 y g(k) ≠ 0, incompatible.
La explicación
Qué se pide
Un sistema con un parámetro son infinitos sistemas, uno por cada valor de k. «Clasificar según k» es contestar, para cada valor de k, si el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. La respuesta tiene que cubrir todos los reales: típicamente, «si k = a, …; si k = b, …; y para todos los demás, …».
Triangular con k adentro
2. Triangulá como siempre, tratando a k como un número. Las cuentas quedan con expresiones en k: k − 1, k² − 9…
3. No dividas por una expresión que pueda valer 0 (como k − 3), ni multipliques una fila por ella: para ese valor de k la operación no sería válida. Si hace falta, separá el caso.
4. Al final, la última fila tiene la forma ( 0 0 f(k) | g(k) ).
Leer la última fila
Con tres incógnitas y las dos filas de arriba con escalones fijos:
f(k) = 0 y g(k) = 0 → fila nula → compatible indeterminado
f(k) = 0 y g(k) ≠ 0 → fila ( 0 0 0 | c ) → incompatible
Se buscan las raíces de f(k): son los únicos valores «peligrosos». Para cada una se calcula g. Con la fila ( 0 0 k² − 9 | k + 3 ): f se anula en k = 3 y en k = −3. Para k = 3, g = 6 ≠ 0: incompatible. Para k = −3, g = 0: indeterminado. Para cualquier otro k: determinado.
Si f(k) es un número distinto de 0 que no depende de k, el sistema es determinado para todo k. Si f(k) es 0 siempre, el sistema nunca es determinado: es indeterminado para los k que anulan g, e incompatible para los demás.
k en el término independiente
Si k aparece sólo del lado derecho, la matriz de coeficientes no depende de k y su rango tampoco. Entonces nunca cambia el «tipo» de A: si A tiene rango completo, es determinado para todo k; si no, al triangular aparece ( 0 … 0 | g(k) ), y el sistema es compatible sólo para los k con g(k) = 0. Pedir que el rango de la ampliada sea igual al del homogéneo asociado es exactamente pedir compatibilidad, porque la matriz del homogéneo asociado es la de coeficientes.
Reordenar antes de empezar
Si el sistema viene con incógnitas en los dos miembros (x₁ + x₂ = 3 − x₃, por ejemplo), primero se pasan todas a la izquierda y se agrupan: x₁ + x₂ + x₃ = 3. Recién ahí se escribe la ampliada. Con un parámetro, agrupar bien es la mitad del ejercicio: un α x₃ de un lado y un x₃ del otro se juntan en (α − 1)x₃.
El control que conviene hacer siempre
Tomá un valor de cada caso y rehacé el sistema con ese número: con el k de indeterminado, la última fila tiene que dar 0 = 0; con el de incompatible, 0 = c. Y si se pide resolver para el k de infinitas, reemplazá la solución en el sistema original con ese k.
Clasificar según los valores de k el sistema x₁ + x₂ − x₃ = 2 ; 2x₁ + 3x₂ + x₃ = 3 ; x₁ + 2x₂ + (k² − 7)x₃ = k + 4, y resolverlo para el valor de k con infinitas soluciones.
Triangulo sin dividir por nada que dependa de k:
( 2 3 1 | 3 ) F₂ → F₂ − 2F₁
( 1 2 k² − 7 | k + 4 ) F₃ → F₃ − F₁
( 0 1 3 | −1 )
( 0 1 k² − 6 | k + 2 ) F₃ → F₃ − F₂
Leo la última fila: k² − 9 = 0 en k = 3 y en k = −3.
- k = 3: queda ( 0 0 0 | 6 ): incompatible.
- k = −3: queda ( 0 0 0 | 0 ): compatible indeterminado.
- k ≠ 3 y k ≠ −3: compatible determinado.
Resuelvo con k = −3: x₂ + 3x₃ = −1 y x₁ + x₂ − x₃ = 2. Con x₃ libre, x₂ = −1 − 3x₃ y x₁ = 2 − x₂ + x₃ = 3 + 4x₃:
Control en el original con k = −3 (la tercera es x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 1): (3, −1, 0) da 3 − 2 + 0 = 1 ✔, y la dirección da 4 − 6 + 2 = 0 ✔.
Dónde se pierde el punto: ver k² − 9 = 0 y contestar sólo k = 3. La otra raíz, −3, es justamente la de infinitas soluciones.
Decidir para qué valores de α el sistema x₁ + x₂ = 3 − x₃ ; x₁ − x₂ + x₃ = 1 ; 2x₁ + α²x₃ = α + 5 − x₃ tiene solución única, infinitas o ninguna, y resolverlo para α = 2.
Reordeno, pasando las incógnitas a la izquierda:
x₁ − x₂ + x₃ = 1
2x₁ + (α² + 1)x₃ = α + 5
Triangulo:
F₃ − 2F₁ = ( 0 −2 α² − 1 | α − 1 )
F₃ − F₂ = ( 0 0 α² − 1 | α + 1 )
α² − 1 = 0 en α = 1 y α = −1:
- α = 1: ( 0 0 0 | 2 ): ninguna solución.
- α = −1: ( 0 0 0 | 0 ): infinitas.
- α ≠ ±1: solución única.
Con α = 2: 3x₃ = 3, x₃ = 1; −2x₂ = −2, x₂ = 1; x₁ = 3 − 1 − 1 = 1. La solución es (1, 1, 1). Control en el original: 1 + 1 = 3 − 1 ✔, 1 − 1 + 1 = 1 ✔, 2 + 4 = 2 + 5 − 1 ✔.
Dónde se pierde el ejercicio: no pasar el −x₃ del tercer miembro derecho. El coeficiente de x₃ en la tercera es α² + 1, no α², y con α² la última fila sería otra.
Dónde se cae la mayoría
- Dividir por una expresión en k (como k − 3) sin separar el caso en que vale 0.
- Mirar sólo f(k): en las raíces de f(k) hay que calcular g(k) para saber si es indeterminado o incompatible.
- Olvidar una de las raíces: k² − 9 = 0 tiene dos, k = 3 y k = −3.
- Contestar sólo los valores especiales y no decir qué pasa con todos los demás k.
- En un sistema con incógnitas en los dos miembros, escribir la ampliada sin reordenar.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Clasificar según un parámetro →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — Dos parámetros: cuándo hay solución y cuál25 puntos · resuelto paso a paso
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