Álgebra (71) · Unidad 1 — Rectas y planos en ℝ² y ℝ³
Puntos y vectores del plano
Un punto del plano es un par ordenado (x, y), y con los puntos se opera coordenada a coordenada: se suman, se restan y se multiplican por un número. Dos puntos son iguales sólo si coinciden en las dos coordenadas, y eso convierte cualquier igualdad entre puntos en dos ecuaciones.
La explicación
El plano como pares de números
ℝ² es el conjunto de los pares ordenados (x, y) de números reales. La primera coordenada es la abscisa y se lee sobre el eje horizontal; la segunda es la ordenada y se lee sobre el vertical. El orden importa: (2, 5) y (5, 2) son puntos distintos. Los ejes parten el plano en cuatro cuadrantes, y el signo de las coordenadas dice en cuál está cada punto: en el primero las dos son positivas, en el tercero las dos negativas. Los puntos del eje x son los de la forma (x, 0), y los del eje y, los de la forma (0, y).
Las cuatro operaciones
Todo se hace lugar por lugar. Con A = (−1, 4) y B = (3, 2):
3A = (−3, 12)
−B = (−3, −2)
B − A = (3 − (−1), 2 − 4) = (4, −2)
El opuesto −B es (−1)·B: se cambia el signo de las dos coordenadas. Restar es sumar el opuesto, B − A = B + (−A), y ahí está la trampa más común: el menos afecta a las dos coordenadas de A, no sólo a la primera. Restar un número negativo es sumarlo.
Qué se ve en el dibujo
A cada punto se lo piensa como una flecha que sale del origen. Entonces:
- La suma es la regla del paralelogramo: con las flechas de A y de B como lados, A + B es la diagonal que sale del origen.
- kA estira o achica la flecha: si k > 1 la alarga, si 0 < k < 1 la acorta, y si k es negativo además la da vuelta.
- B − A es la flecha que va de A a B, trasladada al origen: es lo que hay que sumarle a A para llegar a B, porque A + (B − A) = B.
Todos los múltiplos kA de un punto A ≠ (0, 0) caen sobre una recta que pasa por el origen: la que tiene la dirección de A. Con k = 0 se obtiene el origen, con k = 1 el propio A, con k = −1 su opuesto. Decidir si un punto P es de la forma kA es buscar un único k que sirva para las dos coordenadas.
La igualdad de puntos da ecuaciones
Dos puntos son iguales si y sólo si tienen la misma abscisa y la misma ordenada. Por eso una igualdad entre puntos con incógnitas es un sistema de dos ecuaciones, una por coordenada:
2. Igualá primera coordenada con primera y segunda con segunda.
3. Resolvé. Si la incógnita aparece en las dos ecuaciones, el valor que sale de una tiene que cumplir la otra.
4. Si no la cumple, no hay ningún punto de esa forma: el problema no tiene solución, y eso también es una respuesta.
Por ejemplo, ¿hay un punto de la forma (x, 3x) con (x, 3x) + (2, −5) = (−2, −17)? La primera coordenada pide x + 2 = −2, o sea x = −4; la segunda pide 3x − 5 = −17, o sea x = −4. Coinciden: el punto es (−4, −12). Si la segunda hubiera dado otro valor, no existiría.
Conjuntos del plano descriptos con condiciones
- «Los puntos de abscisa 2» son todos los (2, y): una recta vertical, x = 2.
- «Los puntos de ordenada −1» son los (x, −1): una recta horizontal, y = −1.
- «Los de abscisa mayor o igual que 2» son un semiplano: todo lo que está sobre la recta x = 2 o a su derecha.
- Si las condiciones son dos, se cumplen las dos a la vez: «ordenada 3 y x² = 25» deja sólo x = 5 o x = −5, o sea dos puntos, (5, 3) y (−5, 3).
El control que conviene hacer siempre
Reemplazá lo que encontraste en la igualdad original y hacé la cuenta de punta a punta. En una resta, controlá sumando: si B − A = (4, −2), entonces A + (4, −2) tiene que dar B.
Sean A = (−1, 4) y B = (3, 2). Calcular A + B, 2A − B y B − A, y decidir si el punto (2, −8) es de la forma kA.
Planteo: todas las operaciones se hacen coordenada a coordenada. Conviene resolver primero los múltiplos y después sumar o restar.
La suma:
2A − B: primero 2A = (−2, 8), después se resta B lugar por lugar.
B − A: cuidado con el signo de la primera coordenada de A, que es negativa.
¿(2, −8) es de la forma kA? Tendría que haber un k con k·(−1, 4) = (2, −8), o sea −k = 2 y 4k = −8. La primera da k = −2 y la segunda también da k = −2: sí, (2, −8) = −2A. Está sobre la recta por el origen con la dirección de A, del otro lado del origen.
Control: A + (B − A) = (−1 + 4, 4 − 2) = (3, 2) = B ✔. Y en el dibujo, la flecha de 2A − B es la diagonal del paralelogramo de 2A y −B.
Dónde se pierde el punto: en B − A, escribir 3 − 1 = 2 en la primera coordenada. El control de sumar A lo caza enseguida: (−1 + 2, 4 − 2) = (1, 2) no es B.
a) Hallar un punto P de la forma (x, 3x) tal que P + (2, −5) = (−2, −17). b) Decidir si hay algún punto con segunda coordenada 1 − x (siendo x la primera) que sumado a (3, 2) dé (1, 4). c) Hallar a y b tales que 3(a, 2) − (4, b) = (5, 1).
a) P + (2, −5) = (x + 2, 3x − 5). Igualando con (−2, −17):
3x − 5 = −17 → x = −4 ✔
Las dos ecuaciones piden el mismo x, así que P = (−4, −12). Control: (−4 + 2, −12 − 5) = (−2, −17) ✔
b) Q + (3, 2) = (x + 3, 3 − x). Igualando con (1, 4):
3 − x = 4 → x = −1
La primera coordenada exige x = −2 y la segunda x = −1: no hay un x que cumpla las dos. No existe un punto de esa forma. Dicho de otra manera: el único punto que sumado a (3, 2) da (1, 4) es (−2, 2), y ése no es de la forma (x, 1 − x), porque 1 − (−2) = 3, no 2.
c) 3(a, 2) − (4, b) = (3a − 4, 6 − b). Igualando con (5, 1):
6 − b = 1 → b = 5
Control: 3(3, 2) − (4, 5) = (9 − 4, 6 − 5) = (5, 1) ✔
Dónde se pierde el ejercicio: en b), resolver sólo la primera ecuación, contestar Q = (−2, 3) y no controlar la segunda. Con dos ecuaciones y una sola incógnita, el control no es opcional: es lo que decide si hay solución.
Dónde se cae la mayoría
- Restar sólo la primera coordenada: en B − A el menos afecta a las dos coordenadas de A.
- Olvidar que restar un negativo es sumar: 3 − (−1) es 4, no 2.
- En una igualdad de puntos, usar sólo una coordenada: el valor que sale de la primera ecuación tiene que cumplir también la segunda, y si no la cumple no hay solución.
- Confundir «abscisa 2» con la recta horizontal y = 2: fijar la abscisa deja libre la ordenada, y eso es una recta vertical.
- Creer que x² = 25 da un solo valor: da x = 5 y x = −5, y cada uno es un punto distinto.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Puntos y vectores del plano →Los otros temas de la unidad 1
Rectas y planos en ℝ² y ℝ³
- 1.2 Rectas del plano: paramétrica, implícita y pendiente
- 1.3 Paralelas, intersección y posiciones relativas
- 1.4 Modelos lineales: costos, ganancias y punto de equilibrio
- 1.5 Puntos, vectores y rectas en ℝ³
- 1.6 Planos en ℝ³: paramétrica e implícita
- 1.7 Intersecciones en ℝ³
- 1.8 Ecuación presupuestaria: recta y plano balance