Álgebra (71) · Unidad 5 — Programación lineal en ℝ²
Desigualdades e inecuaciones en ℝ
Con una desigualdad se puede hacer casi todo lo que se hace con una igualdad, salvo una cosa: multiplicar o dividir por un número negativo da vuelta el sentido. Un producto es positivo cuando sus factores tienen el mismo signo, y negativo cuando tienen signos distintos.
La explicación
Para qué sirve esto en la unidad
Toda la programación lineal está hecha de desigualdades: «no hay más de 60 kg de harina», «hay que entregar por lo menos 200 cajas», «el costo no puede pasar de $ 90 000». Antes de pasar al plano conviene tener firmes las reglas en la recta, porque son las mismas y ahí se ven mejor.
Las reglas del orden
Para números reales a, b y c valen tres reglas:
si a < b y c > 0, entonces a·c < b·c
si a < b y c < 0, entonces a·c > b·c
La primera dice que sumar o restar lo mismo de los dos lados no cambia nada. La segunda, que multiplicar por un positivo tampoco. La tercera es la que hay que tener presente siempre: multiplicar por un negativo da vuelta el sentido. Se ve con números: 2 < 5, pero (−3)·2 = −6 y (−3)·5 = −15, y −6 > −15. Multiplicar por un negativo refleja la recta: lo que estaba más a la izquierda pasa a estar más a la derecha. Lo mismo vale para dividir, porque dividir por c es multiplicar por 1/c, que tiene el mismo signo que c.
Verdadero o falso: el contraejemplo
Muchos ejercicios preguntan si una implicación es verdadera. Para decir que es falsa alcanza con un contraejemplo: un solo número que cumpla la hipótesis y no la conclusión. «Si x < 4, entonces 2x < 5» es falsa: x = 3 cumple x < 4 y da 2·3 = 6, que no es menor que 5. Para decir que es verdadera, en cambio, no alcanza con probar ejemplos: hay que apoyarse en una de las reglas. «Si x < 4, entonces x − 1 < 3» es verdadera por la primera regla, restando 1.
Un caso que se pregunta mucho: «si x < 3, entonces x·y < 3y». Es falsa, porque no dice nada del signo de y. Con y positivo se cumple, pero con y = −1 y x = 0 queda 0 < −3, que es falso. Siempre que aparezca un factor del que no se sabe el signo, hay que desconfiar.
Inecuaciones lineales
Se despejan como una ecuación, con la tercera regla a mano. Por ejemplo:
5x − 2x < 7 + 2
3x < 9 → x < 3 → (−∞ ; 3)
Un truco que ahorra errores: juntá las x del lado donde quedan con coeficiente positivo, y así no hace falta dar vuelta nada. En una inecuación doble, como −4 ≤ 2x + 2 < 8, todo se hace a los tres miembros a la vez; si hay que dividir por un negativo se dan vuelta las dos desigualdades, y después se reescribe de menor a mayor.
Un producto: la regla de los signos
Para resolver (x + 1)(x − 4) ≤ 0 no se «despeja»: se mira el signo de cada factor. Un producto es positivo si los dos factores tienen el mismo signo y negativo si tienen signos distintos, y es cero si alguno es cero.
2. Esos valores parten la recta en tramos: (−∞ ; −1), (−1 ; 4) y (4 ; +∞).
3. En cada tramo, probá un número y anotá el signo de cada factor: con x = −2 quedan − y −, producto +; con x = 0, + y −, producto −; con x = 5, + y +, producto +.
4. Quedate con los tramos que piden (acá, producto negativo) y decidí los extremos: como es ≤ 0, entran los ceros. Solución: [−1 ; 4].
Ojo con un factor escrito al revés, como (6 − x): es positivo a la izquierda de 6 y negativo a la derecha. Si lo leés como si fuera x − 6, la respuesta sale exactamente al revés.
El control que conviene hacer siempre
Elegí un número de adentro de tu respuesta y reemplazalo en la inecuación original: tiene que dar verdadero. Uno de afuera tiene que dar falso. Y los extremos aparte: con ≤ o ≥ tienen que dar la igualdad. Si te olvidaste de dar vuelta una desigualdad, el control te lo muestra enseguida, porque te va a quedar exactamente el conjunto contrario.
Resolver −5 < 3 − 2x ≤ 9, escribir la solución como intervalo y decir cuántos enteros tiene.
Planteo: es una inecuación doble. Todo lo que se haga, se hace a los tres miembros.
Restar 3 a los tres:
−8 < −2x ≤ 6
Dividir por −2, que es negativo: se dan vuelta las dos desigualdades.
Reescribir de menor a mayor: −3 ≤ x < 4, o sea [−3 ; 4). El −3 entra porque venía del ≤ (que se dio vuelta a ≥), y el 4 no entra porque venía del <.
Los enteros: −3, −2, −1, 0, 1, 2 y 3: siete. El 4 queda afuera.
Control: con x = 0 (adentro): 3 − 0 = 3, y −5 < 3 ≤ 9 ✔. Con x = 4 (afuera): 3 − 8 = −5, y −5 < −5 es falso ✔. Con x = −3 (el extremo que entra): 3 + 6 = 9 ≤ 9 ✔.
Dónde se pierde el punto: dividir por −2 sin dar vuelta, que da −3 < x ≤ 4, o sea (−3 ; 4]: los extremos quedan cambiados de lado y el control con x = 4 lo delata.
Sean A = {x ∈ ℝ / (x − 5)(x + 2) > 0} y B = {x ∈ ℝ / 3x − 4 ≤ x + 8}. Hallar A, B y A ∩ B. ¿Qué números enteros positivos pertenecen a A ∩ B?
A, por la regla de los signos. Los ceros son 5 y −2, y parten la recta en tres tramos:
−2 < x < 5: (−)(+) = −
x > 5: (+)(+) = + ✔
Los ceros no entran porque la desigualdad es estricta: A = (−∞ ; −2) ∪ (5 ; +∞).
B, lineal: 3x − x ≤ 8 + 4 → 2x ≤ 12 → x ≤ 6. B = (−∞ ; 6].
A ∩ B: de cada pedazo de A me quedo con lo que es menor o igual que 6. El primero, (−∞ ; −2), queda entero; del segundo queda (5 ; 6].
Enteros positivos: en (−∞ ; −2) no hay ninguno, y en (5 ; 6] está sólo el 6. La respuesta es el 6.
Control: x = 6 en A: (1)(8) = 8 > 0 ✔; en B: 14 ≤ 14 ✔. x = 5 en A: (0)(7) = 0, que no es > 0 ✔, así que el 5 no entra.
Dónde se pierde el punto: resolver el producto «como una ecuación» y quedarse con x > 5 solamente, perdiendo el tramo de la izquierda, donde los dos factores son negativos y el producto también es positivo.
Dónde se cae la mayoría
- Dividir por un número negativo sin dar vuelta la desigualdad: de −2x < 6 sale x > −3, no x < −3.
- Dar por verdadera una implicación porque se cumple en dos o tres ejemplos: para que sea verdadera tiene que valer siempre, y un solo contraejemplo alcanza para que sea falsa.
- Multiplicar por una letra como si fuera positiva: si no se sabe su signo, no se sabe si la desigualdad se da vuelta.
- En una inecuación doble, operar sólo el miembro del medio, o dar vuelta una sola de las dos desigualdades al dividir por un negativo.
- En un producto, leer (6 − x) como si fuera (x − 6): tiene el signo contrario en cada tramo, y la solución sale al revés.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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