Álgebra (71) · Unidad 5 — Programación lineal en ℝ²
Regiones con condiciones y puntos enteros
Una región se puede armar al revés, desde sus vértices: cada lado es una recta, y el sentido de la desigualdad lo decide el vértice que queda enfrente. Cuando aparece un parámetro, se reemplaza y cada restricción da una condición sobre él. Y cuando las variables cuentan cosas enteras, la respuesta son los puntos de coordenadas enteras de la región.
La explicación
Del problema a la región, y de la región a la lista
Con $ 2000 se pueden comprar cuadernos de $ 400 y lapiceras de $ 250. Si x son los cuadernos e y las lapiceras, las compras posibles cumplen
x ≥ 0 , y ≥ 0
(dividiendo por 50, que es positivo: no cambia nada). La región es un triángulo, pero no todos sus puntos son compras: nadie compra 2,5 cuadernos. Las respuestas son los puntos de la región con las dos coordenadas enteras.
Cómo listar los puntos enteros sin perder ninguno
2. Para cada x, despejá la cota de y: y ≤ (40 − 8x)/5.
3. Contá los enteros de y entre la cota de abajo y la de arriba, redondeando la de arriba para abajo (y ≤ 6,4 deja y = 0, 1, …, 6).
4. Sumá las columnas.
x = 1: y ≤ 6,4 → 7
x = 2: y ≤ 4,8 → 5
x = 3: y ≤ 3,2 → 4
x = 4: y ≤ 1,6 → 2
x = 5: y ≤ 0 → 1
En total, 28 compras posibles (contando la de no comprar nada). Si además se pide al menos uno de cada cosa, se cambian las cotas de abajo: x ≥ 1 e y ≥ 1, y se vuelve a contar.
La región a partir de sus vértices
A veces el dato es el polígono y lo que hay que escribir es el sistema. Cada lado es un pedazo de una recta, y el sistema tiene una desigualdad por lado:
2. El sentido lo decide el vértice que no está en ese lado: reemplazalo en a·x + b·y. Si da menos que c, la desigualdad es ≤; si da más, ≥.
3. Control: cada vértice tiene que cumplir las tres desigualdades, y dos de ellas con el igual.
Por ejemplo, en el triángulo de vértices (0, 0), (0, 3) y (6, 0), el lado que une (0, 3) con (6, 0) está sobre x + 2y = 6, y el tercer vértice, el origen, da 0 < 6: la desigualdad es x + 2y ≤ 6. Los otros dos lados están sobre los ejes y dan x ≥ 0 e y ≥ 0.
Un parámetro: ¿para qué valores el punto está en la región?
Si el punto depende de un número, como P = (3α, 1 − α), se reemplazan sus coordenadas en cada restricción. Cada una se vuelve una inecuación en α, y la respuesta es la intersección de todas. Puede pasar que una restricción no imponga nada (la α se cancela y queda algo siempre verdadero), o que imponga algo imposible.
Un parámetro: ¿para qué valor el punto es esquina?
Para que un punto sea esquina tiene que estar en la región y sobre dos fronteras. Si con las restricciones que no tienen parámetro el punto está sobre una sola frontera, la otra tiene que ser la del parámetro: se reemplaza el punto en esa frontera con el igual y se despeja. Después hay que comprobar que, con ese valor, el punto cumple todas las demás restricciones.
El control que conviene hacer siempre
Para un conteo, revisá una columna entera a mano: el último y de cada x tiene que cumplir la restricción, y el siguiente no. Para un sistema armado desde los vértices, los tres vértices en las tres desigualdades. Y para un parámetro, probá un valor de adentro de tu respuesta y uno de afuera.
Con $ 2000 se quieren comprar cuadernos de $ 400 y lapiceras de $ 250. a) Plantear las inecuaciones. b) ¿Cuántas compras distintas se pueden hacer? c) ¿Cuáles gastan justo los $ 2000? d) ¿Cuántas compras hay si se quiere al menos un cuaderno y al menos una lapicera?
a) Con x cuadernos e y lapiceras: 400x + 250y ≤ 2000, x ≥ 0, y ≥ 0, x e y enteros. Dividiendo la primera por 50: 8x + 5y ≤ 40.
b) El conteo, columna por columna. x va de 0 a 5 (con 6 cuadernos ya se gastan $ 2400). Para cada x, y ≤ (40 − 8x)/5, redondeado para abajo:
x = 1 → y de 0 a 6: 7
x = 2 → y de 0 a 4: 5
x = 3 → y de 0 a 3: 4
x = 4 → y de 0 a 1: 2
x = 5 → y = 0: 1
Total: 9 + 7 + 5 + 4 + 2 + 1 = 28 compras.
c) Las que gastan todo cumplen 8x + 5y = 40. Como 8x = 40 − 5y tiene que ser múltiplo de 8, y sólo puede ser 0 u 8: son (5, 0) y (0, 8). Cualquier compra con cuadernos y lapiceras a la vez deja algo de vuelto.
d) Al menos uno de cada: ahora x ≥ 1 e y ≥ 1. Las columnas son x = 1 (y de 1 a 6: 6), x = 2 (de 1 a 4: 4), x = 3 (de 1 a 3: 3) y x = 4 (y = 1: 1). Con x = 5 ya no queda plata para ninguna lapicera. Total: 14.
Control: la última de la columna x = 2 es (2, 4): gasta 800 + 1000 = 1800 ≤ 2000 ✔, y la siguiente, (2, 5), gastaría 2050 ✘.
Dónde se pierde el punto: redondear 4,8 a 5 en la columna x = 2 y contar una compra que se pasa del presupuesto.
Sean A = (1, 0), B = (5, 2) y C = (2, 4). a) Escribir un sistema de inecuaciones cuya región sea el triángulo ABC. b) Si P = (α + 2, 2α), hallar todos los α para los que P pertenece al triángulo.
a) Un lado por vez. Para cada uno, la recta por sus dos vértices y el sentido que deja adentro al tercero.
C: 2 − 8 = −6 < 1 → x − 2y ≤ 1
BC: pendiente −2/3 → 2x + 3y = 16
A: 2 + 0 = 2 < 16 → 2x + 3y ≤ 16
CA: pendiente 4 → 4x − y = 4
B: 20 − 2 = 18 > 4 → 4x − y ≥ 4
El triángulo es x − 2y ≤ 1 ; 2x + 3y ≤ 16 ; 4x − y ≥ 4. Control con B = (5, 2): 5 − 4 = 1 ✔ (igualdad), 10 + 6 = 16 ✔ (igualdad), 20 − 2 = 18 ≥ 4 ✔.
b) Reemplazar P en las tres:
2(α + 2) + 6α ≤ 16 → 8α ≤ 12 → α ≤ 3/2
4(α + 2) − 2α ≥ 4 → 2α ≥ −4 → α ≥ −2
En la primera se dividió por −3: se dio vuelta. Las tres a la vez: 1/3 ≤ α ≤ 3/2, o sea α ∈ [1/3 ; 3/2]. La tercera no agrega nada, porque α ≥ 1/3 ya la cumple.
Control: α = 1 da P = (3, 2): 3 − 4 = −1 ≤ 1 ✔, 6 + 6 = 12 ≤ 16 ✔, 12 − 2 = 10 ≥ 4 ✔. α = 2 da (4, 4): 8 + 12 = 20 > 16 ✘, afuera como corresponde.
Dónde se pierde el punto: elegir el sentido de cada lado probando el origen. El origen está afuera del triángulo, y en el lado CA da 0 ≥ 4, falso: con ese criterio saldría 4x − y ≤ 4, que deja afuera a B.
Dónde se cae la mayoría
- Redondear para arriba la cota de y: y ≤ 4,8 deja y = 0, …, 4, no el 5, que se pasa del presupuesto.
- Olvidarse la columna x = 0 o la fila y = 0 al contar, o contarlas cuando el enunciado pide al menos uno de cada cosa.
- Elegir el sentido de la desigualdad de un lado mirando el origen en vez del tercer vértice: el origen puede estar afuera del polígono.
- Con un parámetro, resolver sólo una de las restricciones: la respuesta es la intersección de las condiciones que dan todas.
- Hallar el valor del parámetro que pone el punto sobre la frontera y no verificar después que el punto cumpla las demás restricciones.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Regiones con condiciones y puntos enteros →Los otros temas de la unidad 5
Programación lineal en ℝ²