Álgebra (71) · Unidad 5 — Programación lineal en ℝ²
Semiplanos, regiones y puntos esquina
Una desigualdad en x e y parte el plano en dos por una recta, y se queda con uno de los lados: para saber cuál, se prueba un punto. Un sistema de desigualdades es la región que queda marcada por todas a la vez, y sus puntos esquina son los cortes de dos fronteras que cumplen todas las restricciones.
La explicación
De la recta al semiplano
La ecuación 2x − 3y = 6 es una recta. La desigualdad 2x − 3y < 6 es todo un lado de esa recta: un semiplano. La recta se llama frontera, y se dibuja de dos maneras:
- llena si la desigualdad es ≤ o ≥: los puntos de la recta cumplen la desigualdad y entran;
- punteada si es < o >: la recta queda afuera.
Las más simples son las que tienen una sola variable: x ≥ 5 es todo lo que está a la derecha de la recta vertical x = 5 (con ella incluida), y y < −1 es lo que está debajo de la horizontal y = −1, sin incluirla. En x ≥ 5 la y no tiene ninguna restricción: puede ser cualquier número.
Qué lado: probar un punto
La recta parte el plano en dos lados, y todos los puntos de un mismo lado se portan igual: o cumplen la desigualdad todos, o no la cumple ninguno. Así que alcanza con probar un punto que no esté sobre la frontera. El más cómodo es el origen:
→ es el semiplano que contiene al origen
Si el origen da falso, el semiplano es el otro. Y si la frontera pasa por el origen (como en y ≤ 2x), se prueba con otro punto, por ejemplo (1, 0): 0 ≤ 2 ✔.
Un sistema de desigualdades: la región de factibilidad
Cuando hay varias desigualdades, se marca el semiplano de cada una y la solución es lo que queda marcado por todas. Esa intersección se llama región de factibilidad, y sus puntos son los puntos factibles: los que cumplen todas las restricciones. Conviene marcar cada semiplano con rayitas cortas del lado elegido y sombrear recién al final, cuando ya están todos; si se sombrea cada uno entero, el dibujo se vuelve ilegible.
La región puede ser acotada (entra en un rectángulo: es un polígono) o no acotada (se escapa hacia algún lado sin límite). En los problemas aparecen casi siempre x ≥ 0 e y ≥ 0, porque las variables son cantidades: eso deja la región en el primer cuadrante.
Una restricción doble, como −2 ≤ x − y ≤ 3, son dos desigualdades con fronteras paralelas: x − y ≥ −2 y x − y ≤ 3. Lo que cumple las dos es la franja que queda entre las rectas.
Los puntos esquina
Un punto esquina es un punto de la región que está sobre al menos dos de las rectas frontera. En un polígono son los vértices. Se calculan así:
2. Reemplazá cada punto de corte en todas las desigualdades.
3. Si cumple todas, es punto esquina. Si falla en una sola, no lo es: es un corte de dos rectas que cae afuera de la región.
4. El dibujo sirve para saber qué parejas vale la pena resolver, pero la decisión la da la cuenta.
El paso 2 es el que más se olvida. Dos rectas se cortan aunque ese corte quede lejos de la región, y entonces no es un punto esquina. Con cuatro fronteras hay seis parejas posibles, y es común que la mitad de los cortes caigan afuera.
Restricciones que no agregan nada
A veces una desigualdad no cambia la región: los puntos que cumplen las otras ya la cumplen. Se dice que es redundante. Se detecta porque su frontera no toca la región: al evaluar su primer miembro en los vértices hallados con las otras, ninguno llega al tope. Sacarla no cambia ni la región ni los puntos esquina.
El control que conviene hacer siempre
Cada punto esquina tiene que cumplir todas las desigualdades, y al menos dos de ellas con el igual. Y un punto que el dibujo muestra adentro de la región, reemplazado, tiene que cumplirlas todas sin el igual. Si un vértice que calculaste no cumple alguna, lo sacás; si una pareja de rectas que en el dibujo forma una esquina no te dio un punto factible, revisá la cuenta de esa pareja.
Representar la región R: x + 2y ≤ 10 ; 3x + y ≤ 15 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0. Decidir si es un polígono y hallar sus puntos esquina.
Planteo: cuatro fronteras, así que hay seis parejas posibles. Cada corte se prueba en todas las desigualdades.
Los semiplanos: las dos primeras dan 0 ≤ 10 y 0 ≤ 15 en el origen, así que los dos contienen al origen; x ≥ 0 e y ≥ 0 dejan el primer cuadrante.
Los cortes:
y = 0 con x + 2y = 10 → (10, 0)
y = 0 con 3x + y = 15 → (5, 0) ✔
x = 0 con x + 2y = 10 → (0, 5) ✔
x = 0 con 3x + y = 15 → (0, 15)
x + 2y = 10 con 3x + y = 15 → (4, 3) ✔
El último sale despejando x = 10 − 2y y reemplazando: 30 − 6y + y = 15, o sea y = 3 y x = 4.
Los que no sirven: (10, 0) da 3·10 + 0 = 30, que no es ≤ 15; (0, 15) da 0 + 30 = 30, que no es ≤ 10. Son cortes de dos rectas, pero están afuera de R.
Respuesta: R es un polígono (un cuadrilátero) y sus puntos esquina son (0, 0), (5, 0), (4, 3) y (0, 5).
Control: (4, 3) en las cuatro: 4 + 6 = 10 ≤ 10 ✔, 12 + 3 = 15 ≤ 15 ✔, 4 ≥ 0 ✔, 3 ≥ 0 ✔. Dos con igualdad: es esquina. Un punto de adentro, como (1, 1): 3 ≤ 10 y 4 ≤ 15 ✔.
Dónde se pierde el punto: dar como esquinas (10, 0) y (0, 15), que son los cortes con los ejes de cada recta por separado. La región la corta la otra recta antes.
Sea R: x + y ≥ 4 ; x − y ≤ 2 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0. a) Hallar los puntos esquina de R y decidir si es acotada. b) Si a R se le agrega la restricción y ≤ 6, ¿cuáles son los puntos esquina de la nueva región?
a) Los semiplanos. En el origen, x + y ≥ 4 da 0 ≥ 4: falso, así que es el lado que no contiene al origen. x − y ≤ 2 da 0 ≤ 2: contiene al origen.
Los cortes, uno por uno:
x + y = 4 con x − y = 2 → (3, 1) ✔
y = 0 con x + y = 4 → (4, 0): 4 − 0 = 4 ≰ 2
y = 0 con x − y = 2 → (2, 0): 2 + 0 = 2 ≱ 4
x = 0 con x − y = 2 → (0, −2): y < 0
x = 0, y = 0 → (0, 0): 0 ≱ 4
Esquinas: (0, 4) y (3, 1). La región sigue para arriba sin límite (el punto (0, 100) cumple todo): es no acotada. El eje x no llega a tocarla: y ≥ 0 no aporta ninguna esquina.
b) Con y ≤ 6 aparecen dos cortes nuevos que sí sirven:
y = 6 con x − y = 2 → (8, 6) ✔
y = 6 con x + y = 4 → (−2, 6): x < 0
La nueva región es un cuadrilátero con esquinas (0, 4), (3, 1), (8, 6) y (0, 6): ahora es un polígono.
Control: (8, 6) cumple 14 ≥ 4 ✔, 8 − 6 = 2 ≤ 2 ✔, y 6 ≤ 6 ✔, con dos igualdades. El punto (2, 4), de adentro, cumple todo sin igualdades.
Dónde se pierde el punto: en a), tomar (4, 0) como esquina «porque está sobre el eje». Está sobre dos fronteras, pero no cumple x − y ≤ 2.
Dónde se cae la mayoría
- Elegir el semiplano «a ojo» sin probar un punto: con la frontera inclinada es fácil equivocar el lado.
- Probar con el origen cuando la frontera pasa por el origen: da la igualdad y no dice nada; hay que probar con otro punto.
- Dar como punto esquina cualquier corte de dos fronteras, sin reemplazarlo en las demás restricciones.
- Dibujar llena la frontera de una desigualdad estricta: con < o > la recta queda afuera y va punteada.
- Olvidarse de x ≥ 0 e y ≥ 0 cuando el enunciado las pone: los ejes también son fronteras, y sus cortes también pueden ser puntos esquina.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Semiplanos, regiones y puntos esquina →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Camperas y buzos25 puntos · resuelto paso a paso
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