Física · Unidad 1 — Magnitudes físicas y vectores
Vectores: componentes, módulo y dirección
Un vector tiene módulo, dirección y sentido. Trabajar con sus componentes lo convierte en dos números independientes, y eso es lo que hace que todos los problemas se puedan resolver.
La explicación
Escalares y vectores
Un escalar queda descrito por un número y una unidad: masa, tiempo, temperatura, trabajo. Un vector necesita además dirección y sentido: velocidad, fuerza, aceleración, desplazamiento.
La distinción no es formal: sumar escalares es sumar números, y sumar vectores no. Dos fuerzas de 10 N pueden dar 20 N, 0 N o cualquier cosa en el medio.
Un vector tiene tres cosas: módulo (su tamaño, siempre positivo), dirección (la recta sobre la que apoya) y sentido (para qué lado). Dirección y sentido no son sinónimos: dos vectores opuestos tienen la misma dirección y sentidos contrarios.
De módulo y ángulo a componentes
Válido cuando α se mide desde el eje x positivo, en sentido antihorario. Si el enunciado da el ángulo desde otro lado (desde la vertical, desde un plano inclinado), hay que convertirlo o intercambiar seno y coseno.
De componentes a módulo y ángulo
El módulo sale siempre bien. Con el ángulo hay que tener cuidado: la calculadora devuelve el arcotangente entre −90° y 90°, así que no distingue el segundo cuadrante del cuarto. Hay que mirar los signos de las componentes y ubicar el cuadrante a mano.
- Aₓ > 0, Ay > 0 → primer cuadrante, el valor de la calculadora sirve.
- Aₓ < 0 → hay que sumarle 180°.
- Aₓ > 0, Ay < 0 → cuarto cuadrante, se le suma 360° si se lo quiere positivo.
Versores
î y ĵ son vectores de módulo 1 sobre los ejes. Escribir así un vector es lo mismo que dar sus componentes, con la ventaja de que las operaciones quedan naturales.
Para obtener el versor en la dirección de un vector cualquiera, se lo divide por su módulo: Â = A/|A|. Eso sirve cada vez que hay que escribir una fuerza "en la dirección de" algo.
El caso que más se usa: el plano inclinado
Cuando hay un plano inclinado un ángulo α, conviene rotar los ejes y ponerlos paralelo y perpendicular al plano. Con eso la aceleración queda sobre un solo eje y el problema se simplifica mucho. El peso se descompone así:
perpendicular al plano: P·cos(α)
Es lo contrario de lo que uno esperaría a primera vista, y conviene verificarlo con los casos extremos: con α = 0 (plano horizontal) la componente paralela tiene que ser 0, y sen(0) = 0 ✔; con α = 90° (pared vertical) toda la fuerza es paralela, y sen(90°) = 1 ✔
Ese control con los extremos sirve cada vez que dudes de si va seno o coseno, y no falla.
Un vector velocidad tiene módulo 5 m/s y forma 37° con el eje x. Hallar sus componentes.
Aplico las fórmulas de descomposición, con θ = 37° (un ángulo cómodo: cos 37° ≈ 0,8 y sen 37° ≈ 0,6).
vy = 5 · sen(37°) = 5 · 0,6 = 3 m/s
Verificación: el módulo tiene que volver a dar 5.
El triángulo 3-4-5 aparece todo el tiempo en física justamente por esto: 37° y 53° dan componentes redondas.
Un avión se desplaza 6 km hacia el oeste y 8 km hacia el norte. Tomando el eje x hacia el este y el eje y hacia el norte, hallar el módulo del desplazamiento y el ángulo que forma con el eje x positivo.
Primero las componentes, con el signo que corresponde. Al oeste es contra el eje x, así que la componente x es negativa. Al norte es a favor del eje y:
El módulo, con Pitágoras. Los signos desaparecen porque van al cuadrado:
El ángulo, y acá está la trampa del ejercicio. La calculadora, si le pedís el arcotangente de 8/(−6), contesta −53,13°. Ese ángulo apunta al sudeste, que es justo lo contrario de donde fue el avión.
Por qué pasa. La tangente vale lo mismo en el segundo y en el cuarto cuadrante: no puede distinguirlos. Quien decide el cuadrante sos vos, mirando los signos de las componentes.
Se arma con el ángulo de referencia. Se calcula con los valores absolutos y después se ubica en el cuadrante:
θ = 180° − 53,13° = 126,87°
Control. 126,87° cae entre 90° y 180°, o sea arriba y a la izquierda: noroeste. Coincide con lo que dice el enunciado.
Dónde se pierde el punto: copiar el número de la calculadora sin mirar el cuadrante. Es el error más frecuente de toda la unidad y se evita con un dibujito de diez segundos.
Dónde se cae la mayoría
- Usar seno donde va coseno. Regla: el ángulo desde el eje x va con coseno en la componente x.
- Dar el ángulo sin fijarse en el cuadrante.
- Sumar los módulos de dos vectores como si fueran números: |A+B| casi nunca es |A|+|B|.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Vectores: componentes, módulo y dirección →Los otros temas de la unidad 1
Magnitudes físicas y vectores