Física · Unidad 1 — Magnitudes físicas y vectores

Operaciones con vectores

Sumar vectores es sumar componente a componente. El producto escalar da un número y mide cuánto se parecen dos direcciones; el vectorial da otro vector, perpendicular a los dos.

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La explicación

Suma y resta

La forma práctica es por componentes: se suman las x entre sí y las y entre sí.

A + B = (Aₓ + Bₓ ; A_y + B_y)

Gráficamente hay dos métodos equivalentes: poner uno a continuación del otro (polígono), o dibujarlos desde el mismo origen y cerrar el paralelogramo. El resultado es el mismo; el primero es más cómodo con tres o más vectores.

Para la resta, A − B es A + (−B), y −B es B dado vuelta. Un detalle que se usa todo el tiempo: el vector que va de A hasta B es B − A, o sea llegada menos salida.

El módulo de la suma NO es la suma de los módulos. Dos fuerzas de 3 N y 4 N pueden dar 7 N (misma dirección), 1 N (opuestas) o 5 N (perpendiculares). Lo único que vale siempre es que el resultado está entre ||A| − |B|| y |A| + |B| — ojo con el valor absoluto de afuera: en el ejemplo, 3 − 4 da −1, y un módulo nunca puede ser negativo. La cota de abajo es 1.

Multiplicar por un número

k·A tiene el mismo sentido si k > 0 y el contrario si k < 0, y su módulo es |k|·|A|. La dirección no cambia nunca. Es lo que se usa para escribir un vector como múltiplo de un versor.

Producto escalar

A · B = |A|·|B|·cos(θ) = AₓBₓ + A_yB_y

Devuelve un número, no un vector. Las dos fórmulas son la misma cosa y conviene poder saltar de una a la otra: con las componentes se calcula, con el coseno se interpreta.

Si A · B = 0 y ninguno es nulo, son perpendiculares. Es la forma más rápida de verificarlo.
Si es positivo, el ángulo es agudo; si es negativo, obtuso.

En física aparece en el trabajo: W = F · d, y de ahí sale que una fuerza perpendicular al movimiento no hace trabajo. La fuerza centrípeta es el caso extremo: es perpendicular a la velocidad por definición, así que nunca hace trabajo. La normal es más tramposa: es perpendicular a la superficie, no al desplazamiento. Mientras el cuerpo se mueve pegado a la superficie las dos cosas coinciden y su trabajo es cero, pero en un ascensor que sube la normal apunta para el mismo lado que el movimiento y sí hace trabajo.

Producto vectorial

|A × B| = |A|·|B|·sen(θ)

Devuelve un vector perpendicular a los dos, con sentido dado por la regla de la mano derecha. Su módulo es el área del paralelogramo que forman.

En el CBC aparece sobre todo en el momento de una fuerza: M = r × F, y por eso el momento es máximo cuando la fuerza es perpendicular al brazo (sen 90° = 1) y nulo cuando es paralela.

Los dos productos, comparados

escalar → un número · máximo si son paralelos · cero si son perpendiculares
vectorial → un vector · máximo si son perpendiculares · cero si son paralelos

Son exactamente opuestos en ese sentido, y recordar eso evita la mitad de las confusiones: uno lleva coseno y el otro seno.

Descomponer, que es lo que más se hace

La operación más frecuente en los problemas no es sumar sino descomponer: dado un vector y un par de ejes, hallar sus componentes. Se hace con seno y coseno, y el consejo que ahorra errores es elegir los ejes antes — en un plano inclinado conviene poner el eje x a lo largo del plano, porque así la aceleración queda sobre un solo eje.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Dados A = (3, 2) y B = (1, −4), calcular A + B, A − B y A · B.

Suma, componente a componente:

A + B = (3+1 , 2+(−4)) = (4, −2)

Resta, igual pero restando:

A − B = (3−1 , 2−(−4)) = (2, 6)

Ojo con el doble signo en la componente y: restar un −4 es sumar 4.

Producto escalar:

A · B = 3·1 + 2·(−4) = 3 − 8 = −5

Dio negativo, lo que significa que el ángulo entre los dos vectores es mayor que 90°: apuntan "más o menos" en sentidos opuestos. Ese es el tipo de lectura que da el producto escalar sin necesidad de calcular el ángulo.

Y uno del nivel del parcial

Dados A = (3 ; 4) y B = (−8 ; 6), calcular el producto escalar, los módulos y el ángulo entre los dos vectores.

El producto escalar es componente por componente, y se suma. El resultado es un número, no un vector:

A · B = 3·(−8) + 4·6 = −24 + 24 = 0

Cero no es «no hay resultado». Es el resultado, y es el más informativo de todos. Ahora conviene tener los módulos para ver por qué:

|A| = √(3² + 4²) = √25 = 5
|B| = √((−8)² + 6²) = √100 = 10

El ángulo sale de la definición del producto escalar. Se despeja el coseno:

cos θ = (A · B) / (|A|·|B|) = 0 / (5 · 10) = 0
θ = 90°

Qué acaba de pasar. Ninguno de los dos vectores es cero —miden 5 y 10— y sin embargo su producto escalar da cero. La única forma de que eso ocurra es que sean perpendiculares. El producto escalar es el detector de perpendicularidad más barato que hay: dos multiplicaciones y una suma.

Para qué sirve en un parcial. Cuando te preguntan si una fuerza hace trabajo, si un campo es normal a una superficie o si dos rectas se cortan en ángulo recto, esta cuenta lo contesta sin dibujar nada.

Dónde se pierde el punto: escribir el resultado como un vector, o sumar los productos con el signo cambiado. El −24 y el +24 que se cancelan son justamente el corazón del ejercicio.

Dónde se cae la mayoría

Sumar los módulos en lugar de sumar componentes.
Escribir el producto escalar como si fuera un vector: da un número.
Confundir cuándo va coseno (escalar) y cuándo seno (vectorial).

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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