Física (03) · Unidad 1 — Magnitudes físicas y vectores
Operaciones con vectores
Sumar vectores es sumar componente a componente. El producto escalar da un número y mide cuánto se parecen dos direcciones; el vectorial da otro vector, perpendicular a los dos.
La explicación
Suma y resta
La forma práctica es por componentes: se suman las x entre sí y las y entre sí.
Gráficamente hay dos métodos equivalentes: poner uno a continuación del otro (polígono), o dibujarlos desde el mismo origen y cerrar el paralelogramo. El resultado es el mismo; el primero es más cómodo con tres o más vectores.
Para la resta, A − B es A + (−B), y −B es B dado vuelta. Un detalle que se usa todo el tiempo: el vector que va de A hasta B es B − A, o sea llegada menos salida.
Multiplicar por un número
k·A tiene el mismo sentido si k > 0 y el contrario si k < 0, y su módulo es |k|·|A|. La dirección no cambia nunca. Es lo que se usa para escribir un vector como múltiplo de un versor.
Producto escalar
Devuelve un número, no un vector. Las dos fórmulas son la misma cosa y conviene poder saltar de una a la otra: con las componentes se calcula, con el coseno se interpreta.
- Si A · B = 0 y ninguno es nulo, son perpendiculares. Es la forma más rápida de verificarlo.
- Si es positivo, el ángulo es agudo; si es negativo, obtuso.
En física aparece en el trabajo: W = F · d, y de ahí sale que una fuerza perpendicular al movimiento no hace trabajo — que es por qué la normal y la fuerza centrípeta nunca aparecen en el balance de energía.
Producto vectorial
Devuelve un vector perpendicular a los dos, con sentido dado por la regla de la mano derecha. Su módulo es el área del paralelogramo que forman.
En el CBC aparece sobre todo en el momento de una fuerza: M = r × F, y por eso el momento es máximo cuando la fuerza es perpendicular al brazo (sen 90° = 1) y nulo cuando es paralela.
Los dos productos, comparados
vectorial → un vector · máximo si son perpendiculares · cero si son paralelos
Son exactamente opuestos en ese sentido, y recordar eso evita la mitad de las confusiones: uno lleva coseno y el otro seno.
Descomponer, que es lo que más se hace
La operación más frecuente en los problemas no es sumar sino descomponer: dado un vector y un par de ejes, hallar sus componentes. Se hace con seno y coseno, y el consejo que ahorra errores es elegir los ejes antes — en un plano inclinado conviene poner el eje x a lo largo del plano, porque así la aceleración queda sobre un solo eje.
Dados A = (3, 2) y B = (1, −4), calcular A + B, A − B y A · B.
Suma, componente a componente:
Resta, igual pero restando:
Ojo con el doble signo en la componente y: restar un −4 es sumar 4.
Producto escalar:
Dio negativo, lo que significa que el ángulo entre los dos vectores es mayor que 90°: apuntan "más o menos" en sentidos opuestos. Ese es el tipo de lectura que da el producto escalar sin necesidad de calcular el ángulo.
Dónde se cae la mayoría
- Sumar los módulos en lugar de sumar componentes.
- Escribir el producto escalar como si fuera un vector: da un número.
- Confundir cuándo va coseno (escalar) y cuándo seno (vectorial).
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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