Física · Unidad 3 — Cinemática en dos dimensiones
Movimiento circular
Un cuerpo que gira a rapidez constante igual está acelerando, porque su velocidad cambia de dirección. Esa aceleración apunta al centro y se llama centrípeta.
La explicación
Período, frecuencia y velocidad angular
f = 1/T = vueltas por segundo (Hz)
ω = 2π/T = 2π·f (rad/s)
Las tres dicen lo mismo con distinta unidad. La que entra en las fórmulas es ω, así que la conversión a radianes es obligatoria: un dato en RPM (revoluciones por minuto) hay que pasarlo, y el factor es ω = RPM·2π/60.
Velocidad tangencial y angular
v es la velocidad a lo largo de la circunferencia, tangente a la trayectoria. Ojo con la diferencia: todos los puntos de un cuerpo que gira rígido tienen la misma ω, pero distinta v según su radio. En una calesita, el que está afuera va más rápido aunque las dos den una vuelta al mismo tiempo.
Ese hecho es la base de los problemas de poleas y engranajes conectados por una correa: la correa impone la misma v, así que las ω son distintas si los radios lo son.
Aceleración centrípeta
Apunta siempre hacia el centro. Que exista aunque el módulo de la velocidad no cambie es lo que más cuesta aceptar, y la razón es que la velocidad es un vector: cambia de dirección todo el tiempo, y eso ya es una aceleración.
Movimiento circular uniforme y variado
- Uniforme (MCU): ω constante, sólo hay aceleración centrípeta.
- Variado (MCUV): además cambia el módulo de v, así que aparece una aceleración tangencial, y la aceleración total es la suma vectorial de las dos, que son perpendiculares entre sí.
La centrípeta también se llama aceleración normal —normal quiere decir perpendicular a la trayectoria— y en los enunciados vas a encontrar los dos nombres para lo mismo.
La aceleración angular
Si ω cambia, cambia a un cierto ritmo, y ese ritmo es la aceleración angular:
a_t = α·R (m/s²)
Es a ω lo que la aceleración común es a la velocidad. Y la conexión con lo tangencial es la misma que la de v = ω·R, multiplicada por el radio: α es de todo el cuerpo que gira, a_t es del punto que estés mirando.
Primero a radianes: ω = 300·2π/60 = 31,4 rad/s. De ahí α = 31,4/5 = 6,28 rad/s². Y en esos 5 segundos dio θ = ½·α·t² = 78,5 rad, o sea 12,5 vueltas —que se controla en dos segundos por otro lado: promedió 150 RPM durante 5 s, y eso es 12,5 vueltas—.
Las dos aceleraciones al final: a_t = 6,28·0,3 = 1,9 m/s² y a_c = 31,4²·0,3 = 296 m/s². La centrípeta es 157 veces más grande. No es una casualidad de este ejemplo: en cuanto una rueda toma velocidad, la tangencial se vuelve despreciable al lado de la centrípeta, y por eso la total apunta casi al centro.
Las fórmulas angulares, que son las de siempre
ω = ω₀ + α·t · θ = θ₀ + ω₀t + ½αt² (MCUV)
Son las de cinemática con θ en vez de x, ω en vez de v y α en vez de a. No hay nada nuevo que aprender: es la misma estructura con otras letras.
Control de unidades
Los ángulos van en radianes. Una vuelta son 2π rad, y la longitud de arco es s = θ·R sólo si θ está en radianes. Si el dato viene en grados o en vueltas, se convierte antes de reemplazar, y si te olvidás el resultado sale mal por un factor de 57 o de 6,28.
Un CD de 6 cm de radio gira a 2500 rpm. Hallar su período, su velocidad angular y la velocidad de un punto del borde.
Frecuencia: paso las rpm a Hz dividiendo por 60.
Período: es el inverso.
Velocidad angular:
Velocidad tangencial en el borde (R = 0,06 m — ojo con pasar los cm a metros):
Casi 57 km/h en el borde de un CD. Y un punto a mitad de radio iría exactamente a la mitad de esa velocidad, aunque gire con el mismo ω.
Dos poleas están unidas por una correa que no resbala. La primera tiene 10 cm de radio y gira a 300 rpm; la segunda tiene 25 cm. Hallar la velocidad angular y la frecuencia de la segunda, y la aceleración centrípeta de un punto de su borde.
La condición que resuelve todo el ejercicio. Si la correa no resbala, un punto del borde de una polea y un punto del borde de la otra se mueven a la misma rapidez. Lo que comparten es la velocidad tangencial, no la angular:
La velocidad angular de la primera. Las rpm no se pueden usar directamente: hay que pasarlas a rad/s dividiendo por 60 y multiplicando por 2π:
ω₁ = 2π · 5 ≈ 31,4 rad/s
La velocidad de la correa.
Y ahora la segunda polea. Misma v, radio más grande:
f₂ = ω₂ / 2π = 2 Hz (o sea 120 rpm)
Leer el resultado antes de seguir. El radio se multiplicó por 2,5 y la frecuencia se dividió por 2,5: 300 rpm pasaron a 120. Una polea más grande gira más despacio. Es la misma idea que el plato y el piñón de una bicicleta.
La aceleración centrípeta del borde de la segunda.
Control por el otro camino: ac = v²/R = 3,14² / 0,25 ≈ 39,5 m/s². ✓
Dónde se pierde el punto: suponer que las dos poleas comparten ω. Comparten v. Si compartieran ω, el radio no cambiaría nada y no habría ejercicio.
Dónde se cae la mayoría
- Decir que en un MCU no hay aceleración porque la rapidez no cambia.
- Usar grados en vez de radianes al calcular ω.
- En ruedas unidas por correa, igualar las velocidades angulares en vez de las tangenciales.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Movimiento circular →Los otros temas de la unidad 3
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