Física · Unidad 4 — Dinámica
Gravitación universal
La misma fuerza que hace caer una manzana mantiene a la Luna en órbita. Newton lo unificó, y la fórmula es sorprendentemente simple.
La explicación
La ley
con G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kg². Es atractiva siempre, actúa a distancia, y d es la distancia entre los centros de los cuerpos, no entre sus superficies.
Las dos fuerzas son iguales
En la fórmula entran las dos masas del mismo modo, así que la fuerza con la que la Tierra atrae a una manzana y la fuerza con la que la manzana atrae a la Tierra valen exactamente lo mismo: son un par de interacción (tema 4.1). Lo que no es igual es el efecto, porque el efecto lo decide ΣF = m·a y las masas son abismalmente distintas.
Tierra: a = F/M ≈ 3·10⁻²⁵ m/s²
La Tierra también "cae" hacia la manzana, solo que con una aceleración que ningún instrumento puede medir. Decir que la Tierra atrae más fuerte es el error más común del tema.
Peso y g
El peso de un cuerpo en la superficie de un planeta es justamente esta fuerza:
La masa del cuerpo se cancela: todos los cuerpos caen con la misma aceleración, sea una pluma o un piano (en el vacío). Y g depende solo del planeta: de su masa y de su radio.
g cambia con la altura
Subir no cambia la masa de la Tierra pero sí la distancia al centro, que pasa a ser R + h:
La caída es más lenta de lo que la intuición dice. A 400 km de altura, donde orbita la Estación Espacial, R + h es apenas un 6% más grande que R, así que g todavía vale cerca de 8,9 m/s²: el 89% de lo que vale a nivel del piso (10 · (6400/6800)² = 8,86). Por eso en los problemas de tiro y caída, a alturas de metros o de cientos de metros, tomar g constante es una aproximación excelente.
Órbitas
Para un satélite en órbita circular, la gravedad es la fuerza centrípeta:
De nuevo se cancela la masa del satélite: la velocidad de órbita depende solo de a qué distancia estés. Cuanto más alta la órbita, más lento se mueve. Y como el período es T = 2πr/v, reemplazando queda:
Es decir T² proporcional a r³, que es la tercera ley de Kepler saliendo sola de la ley de Newton. Con ella se entiende que la Estación Espacial dé una vuelta en una hora y media, un satélite geoestacionario tarde 24 horas (y por eso se lo ve siempre en el mismo punto del cielo) y la Luna, sesenta veces más lejos, tarde 27 días.
La ingravidez de los astronautas
No es que "no haya gravedad" en la Estación Espacial: recién vimos que a esa altura g vale casi el 90% de lo que vale acá. Lo que pasa es que la estación y todo lo que hay adentro están cayendo juntos permanentemente alrededor de la Tierra. Es caída libre, no ausencia de gravedad — exactamente la misma situación que la balanza que marca cero en el ascensor con el cable cortado, en 4.1.
Marte tiene aproximadamente 1/10 de la masa de la Tierra y la mitad de su radio. ¿Cuánto vale la gravedad en su superficie?
Uso g = G·M/R² y comparo Marte con la Tierra armando el cociente, así G se cancela:
Reemplazo los datos: M_M/M_T = 1/10, y R_T/R_M = 2 (porque el radio marciano es la mitad).
Entonces:
El valor real es 3,7 m/s², así que con datos redondeados la estimación queda muy cerca.
Lo que hay que entender: la menor masa reduce la gravedad pero el menor radio la aumenta, porque estás más cerca del centro. Los dos efectos compiten. Acá la masa divide por 10 y el radio multiplica por 4, así que gana la masa y el resultado es menor que 10.
El error que acecha es poner el cociente de radios al derecho. Si escribís (R_M/R_T)² = 1/4 en vez de 4, te queda 1/40 y el resultado da 0,25 m/s². La forma de no equivocarse: el radio está en el denominador de g, así que un radio más chico da una gravedad más grande, y el factor tiene que ser mayor que 1.
La pregunta que suele venir pegada
Una persona de 60 kg parada en Marte: su masa sigue siendo 60 kg — no cambió nada de ella — y su peso pasa a ser P = 60 · 4 = 240 N, contra los 600 N que pesa acá. Menos de la mitad. Nada de esto necesitó el valor de G ni la masa de Marte en kilogramos: alcanzó con los dos cocientes del enunciado.
Un satélite gira en órbita circular alrededor de la Tierra a una altura igual al radio terrestre. Sabiendo que en la superficie g = 10 m/s² y que el radio de la Tierra es 6,4 × 10⁶ m, hallar la gravedad a esa altura, la velocidad orbital del satélite y el tiempo que tarda en dar una vuelta.
La distancia que importa se mide desde el centro, no desde el piso. Esa confusión es la que arruina el ejercicio. Si el satélite está a una altura igual al radio, entonces está a dos radios del centro:
La gravedad ahí arriba. La ley de gravitación va con el inverso del cuadrado, así que al duplicar la distancia la gravedad se divide por cuatro, no por dos:
La velocidad orbital. La gravedad en ese punto es la única fuerza, y es justo la que curva la trayectoria: es la centrípeta.
v = √(g(r) · r) = √(2,5 · 1,28 × 10⁷) = √(3,2 × 10⁷)
v ≈ 5.657 m/s ≈ 5,66 km/s
Que la masa se simplifique tiene una consecuencia fuerte: a esa altura, un satélite de una tonelada y un tornillo suelto viajan a la misma velocidad. La órbita depende de la altura, no de lo que orbita.
El tiempo de una vuelta. Como el movimiento es circular uniforme, alcanza con la longitud de la circunferencia dividida por la velocidad:
El control de razonabilidad. Casi cuatro horas por vuelta, unas seis vueltas por día. Es del orden de lo que tarda la Estación Espacial (que va mucho más bajo y tarda 1,5 h) y muchísimo menos que la Luna (27 días, que está sesenta radios afuera). El número cae donde tiene que caer.
Dónde se pierde el punto: usar r = h en vez de r = R + h. Con eso la gravedad da 10 m/s² y todo lo demás sale mal sin que nada avise.
Dónde se cae la mayoría
- Usar la distancia entre superficies en vez de entre centros.
- Olvidar elevar la distancia al cuadrado.
- Explicar la ingravidez diciendo que allá arriba no hay gravedad.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Gravitación universal →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — El satélite25 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 4
Dinámica