Introducción al Pensamiento Científico · Unidad 2 — Razonamientos, verdad y validez
Los usos del lenguaje y las proposiciones
La lógica sólo trabaja con oraciones que pueden ser verdaderas o falsas. Antes de analizar cualquier razonamiento hay que separar qué oraciones son de ésas y cuáles no.
La explicación
Para qué usamos el lenguaje
- Informativo: describir, afirmar, negar. «Llueve», «el PBI cayó 2%».
- Expresivo: manifestar o provocar emociones. «¡Qué día horrible!», un poema.
- Directivo: provocar una conducta. «Cerrá la puerta», «no fumar».
- Operativo (o performativo): la emisión misma realiza la acción. «Prometo devolvértelo», «los declaro casados».
Los usos se mezclan todo el tiempo. «Hace frío acá» puede ser informativo y directivo a la vez (cerrá la ventana). Una publicidad es expresiva y directiva disfrazada de informativa.
Proposición: lo que la lógica puede analizar
Por eso «¿qué hora es?», «cerrá la puerta» y «¡qué lindo día!» no son proposiciones. No es que sean falsas: es que no son ni verdaderas ni falsas, igual que una pregunta no puede ser «incorrecta» en el sentido de falsa.
Oración y proposición no son lo mismo
- Dos oraciones distintas pueden expresar la misma proposición: «llueve» y «it is raining».
- La misma oración puede expresar proposiciones distintas según el contexto: «hoy es martes» dicha en días diferentes.
Simples y compuestas
Una proposición es simple (atómica) si no contiene otra proposición. Es compuesta (molecular) si se arma con otras mediante conectivas: no, y, o, si… entonces, si y sólo si.
Las conectivas y sus tablas de verdad
Las conectivas son funciones de verdad: el valor de verdad de una proposición compuesta depende únicamente de los valores de sus partes, no de su contenido ni de que tengan algo que ver entre sí. Cada conectiva se define por una tabla que dice qué valor toma el compuesto en cada combinación posible. No todas las cursadas toman tablas de verdad en el parcial, pero sirven siempre para entender por qué una forma es válida y otra no.
V │ F
F │ V
V V │ V V V V
V F │ F V F F
F V │ F V V F
F F │ F F V V
- Negación (¬, «no»): da vuelta el valor.
- Conjunción (∧, «y», «pero», «aunque»): verdadera sólo cuando las dos partes lo son.
- Disyunción (∨, «o»): falsa sólo cuando las dos partes son falsas. Es inclusiva: con las dos verdaderas, también es verdadera.
- Condicional (→, «si… entonces»): falso en un único caso, antecedente verdadero y consecuente falso. Con antecedente falso es verdadero siempre.
- Bicondicional (↔, «si y sólo si»): verdadero cuando las dos partes tienen el mismo valor.
Cómo se arma la tabla de un compuesto
2. Llená las columnas de las simples sin repetir combinaciones: la primera alterna de a mitades (VVFF), la última de a uno (VFVF).
3. Encontrá la conectiva principal, la que gobierna todo el enunciado, y evaluá de adentro hacia afuera: primero las negaciones de letras sueltas, después los paréntesis, al final la principal.
4. La columna de la conectiva principal es la del enunciado entero.
Tautología, contradicción y contingencia
- Tautología: verdadera en todas las filas. «p ∨ ¬p» («llueve o no llueve»). No informa nada del mundo, justamente porque no puede fallar.
- Contradicción: falsa en todas las filas. «p ∧ ¬p».
- Contingencia: verdadera en algunas filas y falsa en otras. Son casi todas las que dicen algo del mundo, como «p → q».
La validez, con una tabla
Un razonamiento es válido si no hay ninguna fila en la que todas las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Basta una fila así para que sea inválido. Dicho de otro modo: es válido cuando el condicional «(premisa 1 ∧ premisa 2) → conclusión» es una tautología.
Ejemplo, el silogismo disyuntivo «p ∨ q ; ¬p ; ∴ q»:
V V │ V F V
V F │ V F F
F V │ V V V ← premisas V
F F │ F V F
La única fila con las dos premisas verdaderas es la tercera, y ahí la conclusión también es verdadera: es válido. Las falacias de 2.4 se cazan igual: en la afirmación del consecuente aparece una fila (p falsa, q verdadera) con las premisas verdaderas y la conclusión falsa.
Las proposiciones categóricas: las cuatro de siempre
Hay un tipo de proposición simple que la materia usa todo el tiempo, porque es con la que se arman los silogismos: la categórica, que afirma o niega una relación entre dos clases. Se la desarma en tres piezas:
cuantificador sujeto predicado
Cruzando dos criterios salen cuatro tipos, y cada uno tiene una letra que hay que saberse de memoria porque después se usa como etiqueta:
- Cantidad: universal (todos, ningún) o particular (algunos).
- Calidad: afirmativa (es) o negativa (no es).
E — universal negativa: Ningún S es P
I — particular afirmativa: Algún S es P
O — particular negativa: Algún S no es P
Cómo se relacionan entre sí
Fijado un sujeto y un predicado, las cuatro no son independientes: si conocés el valor de verdad de una, a veces queda decidido el de otra. Son las relaciones del cuadro de oposición:
- Contradictorias (A con O, E con I): una verdadera obliga a la otra a ser falsa, y al revés. Nunca coinciden.
- Contrarias (A con E): no pueden ser las dos verdaderas, pero sí las dos falsas — si algunos estudiantes son puntuales y otros no, «todos» y «ninguno» fallan juntas.
- Subcontrarias (I con O): no pueden ser las dos falsas, pero sí las dos verdaderas.
- Subalternas (A sobre I, E sobre O): de la universal se sigue la particular, nunca al revés. Que todos sean puntuales garantiza que algunos lo sean; que algunos lo sean no dice nada sobre el resto.
Indicá si cada expresión es una proposición y, si lo es, si es simple o compuesta: I) «Si estudiás y dormís bien, aprobás». II) «¡Ojalá apruebe!». III) «Ni Juan ni María vinieron».
Uso informativo: puede ser verdadera o falsa. Tiene tres proposiciones simples: p = «estudiás», q = «dormís bien», r = «aprobás». Estructura: (p ∧ q) → r. El «y» une el antecedente; el «si… entonces» arma el condicional.
Uso expresivo: manifiesta un deseo. No tiene sentido preguntar si es verdadera. Cuidado con la reacción intuitiva de decir «es falsa si no aprueba»: lo que sería falso es «aprobé», que es otra oración.
«Ni… ni…» es una doble negación conjunta. Con p = «Juan vino» y q = «María vino», la estructura es ¬p ∧ ¬q. En castellano suena a una sola cosa, pero lógicamente son dos negaciones unidas por «y».
Lo que conviene practicar: traducir del castellano a la estructura lógica. El castellano tiene muchísimas formas de decir «y» (pero, sin embargo, aunque, además) y varias de decir «o» (a menos que, salvo que). Identificar la conectiva real, y no la palabra, es la mitad del trabajo.
Conviene hacer esta doble lectura siempre que la oración tenga un cuantificador: una cosa es la estructura con conectivas, que es la que se usa en 2.4 con los condicionales, y otra es la estructura categórica, que es la que se usa para los silogismos. La misma oración se analiza de las dos maneras según qué razonamiento la contenga.
Dado el enunciado "Si llueve y no tengo paraguas, entonces me mojo o me quedo en casa", identificar las proposiciones simples, simbolizarlo, decir cuántas filas tiene su tabla de verdad y en cuál de ellas la fórmula es falsa.
Primero, aislar las proposiciones simples. Una proposición simple es una oración declarativa que no contiene conectivos:
q: tengo paraguas
r: me mojo
s: me quedo en casa
Ojo con la q. El enunciado dice "no tengo paraguas", pero la proposición simple es "tengo paraguas": el "no" es un conectivo y va afuera. Si se define q como "no tengo paraguas", después el "no" queda adentro y la simbolización se vuelve confusa.
La simbolización, de adentro hacia afuera:
consecuente: me mojo o me quedo → r ∨ s
la oración entera: (p ∧ ¬q) → (r ∨ s)
Los paréntesis no son decorativos. Sin ellos, la precedencia de los conectivos agruparía mal y la fórmula diría otra cosa. El "si… entonces" del castellano abarca todo lo que sigue, y eso se marca con paréntesis.
El "o" es inclusivo: podría mojarme y quedarme en casa (me mojé yendo hasta la puerta). Si el enunciado quisiera un "o" excluyente lo diría con "o bien… o bien". Ante la duda, en lógica el "o" es inclusivo.
Cuántas filas tiene la tabla. Con n proposiciones simples distintas hay 2ⁿ combinaciones:
Y ahora, en cuáles es falsa. Acá conviene no hacer las 16 filas sino razonar sobre el condicional, que es el conectivo principal:
antecedente verdadero y consecuente falso
Entonces hay que buscar cuándo pasan las dos cosas:
(r ∨ s) falso → r = F y s = F
Eso fija las cuatro variables a la vez, así que hay una sola fila:
en las otras 15 filas es verdadera
En castellano, esa fila dice: llovió, no tenía paraguas, no me mojé y tampoco me quedé en casa. Ese es el único escenario que desmentiría la afirmación — y tiene sentido: si llovió y salí sin paraguas, alguna de las dos cosas tenía que pasarme.
El atajo que se usó vale la pena retenerlo: para saber cuándo una fórmula es falsa, se empieza por el conectivo principal y se pregunta qué necesita para ser falso. Muchas veces eso determina todo sin construir la tabla completa, que con 4 variables ya son 16 filas y con 5 serían 32.
Un control: si la fórmula fuera verdadera en las 16 filas sería una tautología, y si fuera falsa en las 16, una contradicción. Con 15 y 1 es una fórmula contingente, que es lo normal.
Dónde se pierde el punto: contar 5 proposiciones simples porque el enunciado tiene cinco verbos, o meter el "no" adentro de la variable. Las simples se cuentan después de sacar todos los conectivos, y el "no" es uno de ellos.
Dónde se cae la mayoría
- Creer que una oración con signo de pregunta o de exclamación puede ser verdadera o falsa. No es ni una cosa ni la otra.
- Confundir «no es una proposición» con «es falso».
- Traducir «pero», «sin embargo» y «aunque» como algo distinto de la conjunción: para la lógica, todos son «y».
- Leer «A sólo si B» como «si A entonces B» al revés. «Aprobás sólo si estudiás» dice que estudiar es necesario, no suficiente.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Los usos del lenguaje y las proposiciones →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — Cuál de los cuatro argumenta10 puntos · resuelto paso a paso
- Primer parcial — Qué derriba un solo caso10 puntos · resuelto paso a paso
- Primer parcial — El valor de verdad del compuesto10 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 2
Razonamientos, verdad y validez