Álgebra A (62) · Unidad 8 — Transformaciones lineales

Inversa, simetrías y proyecciones en ℝ³

Un isomorfismo se puede deshacer, y la matriz de su inversa es la inversa de su matriz. Las simetrías respecto de los planos coordenados se deshacen solas; las proyecciones no se deshacen nunca.

Practicar este tema →7 ejercicios que te corrigen paso a paso · gratis, sin cuenta

La explicación

Cuándo hay inversa

T : ℝⁿ → ℝⁿ es isomorfismo ⟺ existe T⁻¹ con T⁻¹∘T = T∘T⁻¹ = id

Sólo los isomorfismos tienen inversa. Si T tiene núcleo no nulo, dos vectores distintos van a parar al mismo lugar y no hay forma de saber de cuál vino: no se puede deshacer. Cuando existe, T⁻¹ también es lineal, y su matriz es la inversa de la de T:

A_T⁻¹ = (A_T)⁻¹

Así que todo lo de 6.5 sirve tal cual: T es isomorfismo cuando A_T tiene rango n (o, con la unidad 7, determinante no nulo), y A_T⁻¹ se calcula con [A | I].

Hallar la fórmula de T⁻¹

Camino 1: invertir A_T y leer la fórmula fila por fila.
Camino 2: plantear T(x, y, z) = (a, b, c) y despejar x, y, z en función de a, b, c.

Los dos tienen que dar lo mismo, y el control es componer: T(T⁻¹(a, b, c)) = (a, b, c). Si no da, hay un signo perdido. Y la inversa de una composición da vuelta el orden, como con las matrices: (T∘S)⁻¹ = S⁻¹∘T⁻¹.

Con la preimagen del tema 8.6: si T es isomorfismo, T⁻¹(w) tiene un único vector, y es justamente la función inversa aplicada a w.

Simetrías respecto de los planos coordenados

plano xy: (x, y, z) ⟼ (x, y, −z)
plano xz: (x, y, z) ⟼ (x, −y, z)
plano yz: (x, y, z) ⟼ (−x, y, z)

Sus matrices son diagonales, con un −1 en el lugar de la coordenada que cambia:

S_xy = [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,−1]]
S_xz = [[1,0,0],[0,−1,0],[0,0,1]]
S_yz = [[−1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]

El espejo deja quietas las dos coordenadas del plano y da vuelta la que mide la distancia a él. Aplicada dos veces, vuelve todo a su lugar: S∘S = id, así que S⁻¹ = S. Respecto de un eje cambian de signo las dos coordenadas que no son las del eje (respecto del eje x: (x, −y, −z)), que es girar 180° alrededor de él.

Proyecciones ortogonales sobre ejes y planos coordenados

plano xy: (x, y, z) ⟼ (x, y, 0)
eje z: (x, y, z) ⟼ (0, 0, z)

P_xy = [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
P_z = [[0,0,0],[0,0,0],[0,0,1]]

Se borran las coordenadas que no son las del eje o del plano. Son proyectores (8.5): P∘P = P. Y no tienen inversa: su núcleo es justo lo que se borra (el eje z, para la proyección sobre el plano xy), así que P⁻¹(w) es una recta o un plano entero, nunca un solo vector.

Cómo se relacionan

Con S la simetría y P la proyección sobre el mismo plano:

S = 2P − I

P(v) es el punto medio entre v y S(v), igual que el pie de la perpendicular en el punto simétrico de 5.6: P(v) = (v + S(v))/2. Con matrices: 2·[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,0]] − I da [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,−1]] ✔. Y la proyección sobre el eje perpendicular al plano es I − P.

El control por el determinante: simetría respecto de un plano, −1 (espeja); respecto de un eje, +1 (es una rotación); proyección, 0 (aplasta). Si una «simetría» te da determinante 0, la confundiste con la proyección.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Sea T : ℝ³ → ℝ³, T(x, y, z) = (x + y, y + z, z). Probar que es un isomorfismo y hallar T⁻¹ por los dos caminos.

¿Es isomorfismo? La matriz ya está escalonada:

A_T = [ 1 1 0 ; 0 1 1 ; 0 0 1 ]

Tres pivotes no nulos: rg = 3. Entonces Nu(T) = {0} e Im(T) = ℝ³: es isomorfismo.

Camino 1: despejar. Se plantea T(x, y, z) = (a, b, c) y se despeja de abajo hacia arriba:

z = c
y + z = b ⟹ y = b − c
x + y = a ⟹ x = a − y = a − b + c

T⁻¹(a, b, c) = (a − b + c, b − c, c)

Camino 2: invertir la matriz con [A | I]. Ya está escalonada; falta hacer ceros arriba de los pivotes:

F₂ − F₃: [ 0 1 0 | 0 1 −1 ]
F₁ − F₂ (la nueva): [ 1 0 0 | 1 −1 1 ]

(A_T)⁻¹ = [ 1 −1 1 ; 0 1 −1 ; 0 0 1 ]

Leída fila por fila, es la misma fórmula: a − b + c, b − c, c ✔.

Control componiendo: T(a − b + c, b − c, c) = ((a − b + c) + (b − c), (b − c) + c, c) = (a, b, c) ✔. Y el +1 de la esquina, que sorprende, sale de que la tercera fila se resta dos veces encadenada: −(−1) = +1.

Dónde se pierde el punto: despejar x = a − b − c olvidando que y = b − c entra con su signo: x = a − (b − c). Componer al final lo detecta en un renglón.

Y uno del nivel del parcial

Sean S la simetría respecto del plano xz y P la proyección ortogonal sobre el eje y, en ℝ³. a) Escribir sus matrices. b) Calcular S(2, 3, −1) y P(2, 3, −1). c) Verificar que S = I − 2P. d) Decidir cuál de las dos tiene inversa, y hallar P⁻¹((0, 3, 0)).

a) Las matrices. La simetría respecto del plano xz deja x y z y cambia el signo de y; la proyección sobre el eje y deja sólo la y:

S = [ 1 0 0 ; 0 −1 0 ; 0 0 1 ] P = [ 0 0 0 ; 0 1 0 ; 0 0 0 ]

b) Las imágenes.

S(2, 3, −1) = (2, −3, −1) P(2, 3, −1) = (0, 3, 0)

c) La relación. El eje y es perpendicular al plano xz, así que la proyección sobre el plano es I − P, y la simetría es 2(I − P) − I = I − 2P:

I − 2P = [ 1 0 0 ; 0 1 − 2 0 ; 0 0 1 ] = S ✔

Con el vector: (2, 3, −1) − 2·(0, 3, 0) = (2, −3, −1) ✔. Se le resta dos veces la parte que sobresale del plano.

d) Las inversas. S∘S = I: aplicar el espejo dos veces devuelve el vector. Entonces S es isomorfismo y S⁻¹ = S. En cambio P borra x y z: su núcleo es el plano xz, no es isomorfismo y no tiene inversa.

Lo que sí existe es la preimagen (8.6): P⁻¹((0, 3, 0)) son los (x, y, z) con P(x, y, z) = (0, 3, 0), o sea y = 3 y x, z cualesquiera:

P⁻¹((0, 3, 0)) = { (x, 3, z) : x, z ∈ ℝ } = (0, 3, 0) + Nu(P)

Un plano entero, paralelo al núcleo: por eso no hay «una» inversa.

Control por determinante: det(S) = −1 (espeja) y det(P) = 0 (aplasta), como dice la teoría.

Dónde se pierde el punto: confundir el plano xz con el plano xy (la que cambia de signo es la coordenada que no está en el nombre del plano), o contestar que P⁻¹((0, 3, 0)) es (0, 3, 0): ése es uno de sus vectores, no todos.

Dónde se cae la mayoría

Buscarle inversa a una proyección. Tiene núcleo, así que no es isomorfismo y no la tiene.
Invertir una composición sin dar vuelta el orden: (T∘S)⁻¹ es S⁻¹∘T⁻¹, no T⁻¹∘S⁻¹.
Confundir la simetría respecto del plano xy con la proyección sobre él: la simetría le cambia el signo a z, la proyección la hace 0.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

Practicar Inversa, simetrías y proyecciones en ℝ³ →

Los otros temas de la unidad 8

Transformaciones lineales

Ver todos los temas de Álgebra (62)