Biofísica (53) · Unidad 2 — Bases físicas de la circulación y la respiración
El teorema de Bernoulli
En un fluido ideal que se mueve, donde va más rápido la presión es menor: la energía que gana en movimiento la pierde en presión. Bernoulli es la conservación de la energía escrita por unidad de volumen, y explica por qué una estenosis tiende a cerrarse y un aneurisma a crecer.
La explicación
La presión baja donde el fluido corre
Doblá una hoja en forma de V y soplá por adentro. Uno espera que se abra, y se cierra. Adentro el aire va rápido; afuera, quieto. La presión adentro quedó más baja que afuera, y el aire de afuera la cierra. Lo mismo hace que una cortina de baño se meta hacia la ducha, o que el viento arranque un techo de chapa hacia arriba.
De dónde sale el teorema
Tomá un pedazo de fluido que avanza por un tubo. El fluido que viene detrás lo empuja con p₁·S₁, y el que va delante lo frena con p₂·S₂. Esas dos fuerzas hacen trabajo, y como el volumen V que entra por un lado es el que sale por el otro, el trabajo neto de la presión es (p₁ − p₂)·V. Ese trabajo va a cambiar la energía cinética y la potencial del pedazo. Dividiendo todo por V:
La suma de la presión, la energía cinética por unidad de volumen y la potencial por unidad de volumen tiene el mismo valor en todos los puntos de una línea de corriente.
Si el fluido está quieto, v = 0 en todos lados y queda p₁ − p₂ = δ·g·(h₂ − h₁): el teorema fundamental de la hidrostática. Bernoulli lo contiene.
Cuándo vale
Para un fluido ideal: sin viscosidad (no pierde energía por rozamiento), incompresible (densidad constante), en régimen estacionario y sin remolinos. La sangre no es ideal, y en los vasos finos la viscosidad manda (eso es 2.5). Pero en tramos cortos de vasos grandes, donde lo que cambia de golpe es la sección, Bernoulli describe bien lo que pasa.
Tubo horizontal: Venturi
Con h₁ = h₂, la gravedad se va y queda un intercambio puro entre presión y velocidad:
En el tramo angosto la continuidad obliga a ir más rápido, y Bernoulli dice que entonces la presión baja. Un tubo con un estrechamiento y dos manómetros es un venturímetro: midiendo la diferencia de presión se calcula la velocidad, y con ella el caudal.
Salida por un orificio: Torricelli
Un tanque abierto con un agujerito a una profundidad h. Arriba y en el chorro la presión es la atmosférica, y la superficie baja tan despacio que su velocidad se desprecia:
La misma velocidad que tendría una gota cayendo libre desde la superficie: no es casualidad, es la misma energía. Si el tanque está cerrado y el aire de arriba tiene una presión manométrica p_m, se suma: v = √(2·(g·h + p_m/δ)). El sifón es otro caso: un tubo que sube y vuelve a bajar vacía un recipiente mientras la salida esté más abajo que la superficie, con la velocidad de Torricelli para ese desnivel. En su punto más alto la presión es menor que la atmosférica, y por eso un sifón sólo arranca si el tubo está lleno.
Estenosis y aneurisma
Una estenosis es un tramo angosto: la sangre acelera y su presión baja. La pared de la arteria queda apretada por los tejidos de afuera con más fuerza que la que la sangre hace desde adentro, y el vaso tiende a cerrarse más. Cuanto más caudal, más baja la presión, y por eso el problema se nota con el ejercicio.
Un aneurisma es lo contrario: un tramo ensanchado por una pared débil. Ahí la sangre se frena y su presión sube, así que empuja todavía más la pared que ya estaba cediendo. Es un círculo vicioso: se ensancha, la presión aumenta, se ensancha más. Por eso un aneurisma no se cura solo y hay que reforzarlo.
1. Elegí dos puntos de la misma línea de corriente, uno donde sepas todo y otro donde esté la incógnita.
2. Las velocidades que falten salen de la continuidad: S₁·v₁ = S₂·v₂.
3. Escribí los tres términos en cada punto, con las presiones en Pa, las velocidades en m/s y las alturas en m. Donde el fluido toca la atmósfera, p = p₀.
4. Despejá, y controlá el sentido: más rápido → menos presión; más abajo → más presión.
En un aneurisma de aorta abdominal el radio del vaso es 1,6 veces el normal. En el tramo sano la sangre va a 40 cm/s. Tratá la sangre como un fluido ideal de densidad 1050 kg/m³, el vaso como horizontal, y usá 1 mmHg = 133 Pa. a) ¿Con qué velocidad va la sangre dentro del aneurisma? b) ¿Cuánto más presión hay en el aneurisma que en el tramo sano? c) ¿Por qué el aneurisma tiende a crecer?
a) La velocidad en el aneurisma. Por continuidad, con las áreas en la razón de los radios al cuadrado:
b) La diferencia de presión. Bernoulli entre el tramo sano (1) y el aneurisma (2), a la misma altura:
La trampa. ½ · 1050 · (0,40 − 0,156)² daría 31 Pa: se eleva la resta en lugar de restar los cuadrados, y el resultado no es la mitad del correcto por casualidad, es otro número.
c) Por qué crece. Medio milímetro de mercurio parece nada contra los 100 que tiene la aorta. Pero actúa sobre una pared que ya está debilitada, todo el tiempo, latido tras latido. Y el efecto se realimenta: más ancho → más lento → más presión → más ancho. En un aneurisma grande la pared además está más tensa por su propia forma, y eso se suma. El resultado es que un aneurisma sin tratar tiende a agrandarse hasta romperse; por eso se repara con un injerto que recubre la zona por dentro y le devuelve al vaso su calibre.
Bernoulli no dice que el aneurisma se rompa por la presión de Bernoulli sola: dice hacia dónde empuja el efecto. En un ensanchamiento, siempre hacia afuera.
Por una cañería de un hospital circula agua (tomala como fluido ideal) con una sección de 3 cm² y una velocidad de 1,2 m/s, a una presión de 150 kPa. La cañería baja 6 m y en el nivel inferior su sección es de 1,5 cm². Tomá g = 10 m/s². a) ¿Qué velocidad tiene el agua abajo? b) ¿Qué presión tiene abajo?
a) La velocidad abajo. Continuidad: la sección se reduce a la mitad, la velocidad se duplica.
b) La presión abajo. Bernoulli, con la referencia de alturas en el nivel inferior (h₂ = 0, h₁ = 6 m):
p₂ = 150 000 + 500 · (1,44 − 5,76) + 1000 · 10 · 6
p₂ = 150 000 − 2160 + 60 000 = 207 840 Pa ≈ 208 kPa
Hay dos efectos que tiran para lados contrarios: bajar 6 m suma 60 kPa, y acelerar de 1,2 a 2,4 m/s resta 2,16 kPa. Gana la altura por lejos.
arriba: 150 000 + 720 + 60 000 = 210 720 Pa
abajo: 207 840 + 2880 + 0 = 210 720 Pa ✔
Si hubieras puesto la altura con el signo cambiado, te daba unos 88 kPa: la presión bajaría al bajar, que es justo lo contrario de lo que dice la hidrostática. Ése es el control de sentido que conviene hacer siempre.
Dónde se cae la mayoría
- Hacer ½·δ·(v₂ − v₁)² en lugar de ½·δ·(v₂² − v₁²). Se restan los cuadrados, no se eleva la resta.
- Olvidar el ½. Con él, 1000 kg/m³ y 1 m/s dan 500 Pa, no 1000.
- Suponer que la presión es mayor donde el fluido va más rápido. Es al revés: la energía que gana en velocidad la pierde en presión.
- Usar Bernoulli entre los extremos de un vaso largo y fino. Ahí manda la viscosidad y la presión baja aunque la velocidad no cambie.
- En un tanque cerrado, olvidarse de la presión del aire de arriba en la velocidad de salida.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar El teorema de Bernoulli →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — Una arteria con dos lesiones20 puntos · resuelto paso a paso
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