Primer parcial de Biofísica, resuelto paso a paso

El salto tiene dos etapas y conviene no mezclarlas: el impulso, con los pies apoyados, donde el piso empuja; y el vuelo, donde la única fuerza es el peso. Los ítems a), b) y d) son del impulso; el c), del vuelo.

a) Durante el impulso la fuerza es constante, así que el movimiento es un MRUV que arranca del reposo. No hay tiempo en el enunciado: va la ecuación sin tiempo.

Control por el otro camino: con aceleración constante desde el reposo, la velocidad media es la mitad de la final, 1,2 m/s. Entonces el impulso dura t = 0,32 / 1,2 = 0,267 s, y a = Δv/t = 2,4 / 0,267 = 9 m/s² ✓

b) Diagrama de cuerpo libre: sobre la persona actúan dos fuerzas, el peso (P = 64 · 10 = 640 N, hacia abajo) y la fuerza del piso N (hacia arriba). Segunda ley, con el eje para arriba:

Control por energía: el trabajo de las dos fuerzas en los 0,32 m tiene que dar la energía cinética del despegue. (N − P)·Δy = (1216 − 640)·0,32 = 184,3 J, y ½·64·2,4² = 184,3 J ✓

c) Ya en el aire sólo actúa el peso, así que la energía mecánica se conserva. Toda la cinética del despegue se vuelve potencial:

La masa se simplifica: cualquiera que despegue a 2,4 m/s sube lo mismo. Control por cinemática: sube durante t = v/g = 0,24 s, y h = 2,4·0,24 − 5·0,24² = 0,576 − 0,288 = 0,288 m ✓

Cuidado con lo que se pregunta: es cuánto sube desde el despegue. Sumarle los 32 cm del impulso (0,608 m) contesta otra cosa, que es cuánto sube desde la posición agachada.

d) La potencia media es trabajo sobre tiempo. El trabajo de la fuerza del piso, que es constante y va en el mismo sentido del desplazamiento:

Control por el otro lado: con una fuerza constante, la potencia media es la fuerza por la velocidad media, 1216 · 1,2 = 1459 W ✓. Y el trabajo se reparte como tiene que repartirse: 184,3 J de cinética más 204,8 J de potencial (m·g·Δy = 640·0,32), que suman 389,1 J. El trabajo de la única fuerza no conservativa —la del piso, que en realidad es la de los músculos de las piernas— es exactamente lo que aumentó la energía mecánica.

Si te dio 0,69 kW, contaste sólo la energía cinética y te olvidaste de que el cuerpo también subió 32 cm. Si te dio 2,92 kW, usaste la velocidad del despegue en vez de la media: ésa es la potencia instantánea en el último momento, no la media del impulso.

Primero todo al SI: r₁ = 4,0×10⁻³ m, r₂ = 2,0×10⁻³ m, r₃ = 8,0×10⁻³ m, v₁ = 0,40 m/s y p₁ = 13 000 Pa.

a) Continuidad: el caudal es el mismo en todos los tramos, Q = S·v. Como la sección de un tubo circular es π·r², la velocidad va con el cuadrado del cociente de radios:

Control: Q = π·(4×10⁻³)²·0,40 = 2,01×10⁻⁵ m³/s (unos 20 mL/s), y π·(2×10⁻³)²·1,6 da exactamente lo mismo ✓

b) Bernoulli entre el tramo sano y la estenosis, a la misma altura:

Si te dio 11,66 kPa, restaste sólo ½·δ·v₂² y te olvidaste del término de v₁, que también está. Por eso se piden dos decimales: con uno solo, las dos cuentas dan 11,7 y el ítem no distinguiría nada. Si te dio 12,75 kPa, arrastraste la velocidad de 0,8 m/s del error de a).

c) En el aneurisma pasa lo contrario: la sección es cuatro veces la sana, así que la sangre va cuatro veces más lento.

Control global: la cantidad p + ½·δ·v² tiene que dar lo mismo en los tres tramos. Sano: 13 000 + 84 = 13 084 Pa. Estenosis: 11 740 + 1344 = 13 084 Pa. Aneurisma: 13 078,75 + 5,25 = 13 084 Pa ✓

Fijate la asimetría: angostar a la mitad hace caer la presión 1260 Pa, y ensanchar al doble la sube apenas 79 Pa. Es porque la energía cinética va con v², y en el tramo sano ya había muy poca para «devolver» como presión: aunque la sangre se frenara del todo, la presión no podría subir más de ½·δ·v₁² = 84 Pa.

d) La estenosis tiende a cerrarse más y el aneurisma a dilatarse más. Y es la segunda trampa del ejercicio, porque la intuición dice lo contrario: «si el paso es más angosto, la sangre aprieta más». No. En la estenosis la sangre va más rápido y la presión interna baja; la presión de los tejidos de afuera no cambió, así que la pared queda empujada hacia adentro y el estrechamiento se acentúa. En el aneurisma la sangre se frena, la presión interna sube y empuja la pared ya debilitada hacia afuera. Las dos lesiones se retroalimentan.

Las otras opciones tienen un error de física cada una. El caudal no es menor en la estenosis: es el mismo en todos los tramos, que es justamente lo que dice la continuidad. Y la presión no es la misma en todo el tubo horizontal: eso vale para un líquido en reposo, no para uno que cambia de velocidad.

En un gráfico v‑t hay dos lecturas y nada más: la pendiente es la aceleración, y el área bajo la curva es el desplazamiento. Todo el ejercicio se resuelve con esas dos.

Control: la velocidad media es 72 / 12 = 6 m/s, menor que la máxima, como tiene que ser si hubo que arrancar y frenar.

Por qué fallan las otras:

• 96 m es 8 m/s por 12 s: trata todo el recorrido como si hubiera ido siempre a la velocidad máxima, y se come los dos triángulos de arranque y frenada.
• Quieto entre 4 y 10 s: es la confusión clásica entre el x‑t y el v‑t. Un tramo horizontal en el v‑t significa velocidad constante, y acá vale 8 m/s: es el tramo donde más avanza. Quieto sería horizontal en el x‑t, o sobre el eje en el v‑t.
• 8 m/s de media: es la máxima, no la media. La media es desplazamiento sobre tiempo, 6 m/s.
• 4 m/s² en el sentido en que corre: el módulo está bien —8 m/s en 2 s—, pero la velocidad disminuye, así que la aceleración apunta en contra del movimiento: vale −4 m/s².
• Volviendo en t = 11 s: que la velocidad disminuya no quiere decir que cambie el sentido. Mientras v sea positiva, sigue avanzando; sólo vuelve si el gráfico cruza por debajo del eje, y éste no lo cruza.

El teorema fundamental de la hidrostática: bajando una altura h dentro de un líquido, la presión aumenta δ·g·h; subiendo, disminuye lo mismo. Vale para la manométrica igual que para la absoluta, porque la diferencia no depende de la presión de partida.

Para sumarlas a los 100 mmHg hay que pasarlas a la misma unidad. Un milímetro de mercurio son 101 300 / 760 = 133,3 Pa:

Control por el otro camino: todo en pascales. 100 mmHg = 13 329 Pa; en el pie, 13 329 + 13 650 = 26 979 Pa = 202,4 mmHg ✓; en la cabeza, 13 329 − 4200 = 9129 Pa = 68,5 mmHg ✓

Por eso la presión arterial se toma en el brazo, a la altura del corazón: medida en el tobillo de alguien parado daría el doble, y no estaría hablando del corazón sino de la columna de sangre que tiene encima.

Por qué fallan las otras:

• Pie 68 y cabeza 202 son los números bien calculados puestos al revés: la presión crece hacia abajo, donde hay más líquido encima.
• 100 en los dos es la trampa: el corazón fija la presión en la aorta, pero el resto del cuerpo le suma o le resta la columna de sangre. En una persona acostada sí serían casi iguales.
• 114 y 96 sale de sumar los kilopascales (13,65 y 4,2) como si fueran milímetros de mercurio. La unidad no se puede saltear.
• La cabeza en 100: el teorema funciona en los dos sentidos. Subir dentro del líquido resta presión, aunque «encima» no haya nada que pese.

Dos ideas y una cuenta. La ley de Poiseuille dice que la resistencia de un tubo es R = 8·η·L / (π·r⁴): con el radio a la mitad, la resistencia se multiplica por 2⁴ = 16. Y en paralelo, con la misma Δp sobre cada rama, cada una lleva su caudal Q = Δp / R y el total es la suma.

Control por el camino de las resistencias: la equivalente pasa de R/2 a R·16R/(R + 16R) = 16R/17. Con la misma Δp, el caudal va con la inversa: (R/2) / (16R/17) = 17/32 ✓

La arteriola contraída sigue aportando, pero apenas: 1/16 de lo que llevaba. Casi todo lo que le llega ahora al órgano pasa por la arteriola sana. Así regula el cuerpo cuánta sangre va a cada lado: cambios chicos de radio en las arteriolas, y efectos enormes en el caudal.

Los otros números salen de pesar mal el radio. 75 % es suponer que el caudal va con r (la contraída llevaría la mitad); 62,5 % es suponer que va con r², como la sección (llevaría un cuarto). 50 % es suponer que se cierra del todo. El 100 % se olvida de que la diferencia de presión fija sólo la causa del flujo: el caudal depende también de la resistencia.

En un tubo abierto en un extremo y cerrado en el otro, el extremo cerrado es un nodo (el aire no se puede mover contra el tímpano) y el abierto es un vientre. El modo más simple que cumple las dos cosas mete exactamente un cuarto de longitud de onda en el tubo:

El modo siguiente tiene que seguir con nodo en el tímpano y vientre en la entrada. Agregar media longitud de onda deja un nodo en el lugar del vientre; hay que agregarla entera de un vientre al siguiente, y lo que entra es tres cuartos:

Por qué fallan las otras. 6880 y 13 760 es el tubo abierto en los dos extremos, f = v/(2L): se olvida del tímpano. 13 760 y 27 520 mete una longitud de onda entera en el tubo, λ = L, que no cumple nodo en un lado y vientre en el otro. Y 34,4 Hz es dejar el largo en centímetros: 344 / (4·2,5).

El número de verdad tiene una consecuencia que se mide: el oído humano es más sensible entre unos 2000 y 5000 Hz, y una parte de esa sensibilidad es que el propio conducto resuena cerca de 3400 Hz y refuerza esas frecuencias antes de que lleguen al tímpano.

Los decibeles no se suman ni se dividen: primero se pasa a intensidad, se hace la física con la intensidad, y al final se vuelve a decibeles.

Control por el camino corto, que conviene tener a mano: duplicar la intensidad suma 10·log 2 = +3 dB, y duplicar la distancia la divide por cuatro, que resta 10·log 4 = −6 dB. 60 + 3 − 6 = 57 dB ✓

Los otros números: 63 dB cuenta los dos respiradores y se olvida de que la enfermera se alejó; 54 dB hace lo contrario. 120 dB suma los decibeles como si fueran lineales (60 + 60), y 30 dB hace la cuenta de proporciones directamente sobre los decibeles (60·2/4). Ninguna escala logarítmica se opera así.

Es por esto que en una terapia intensiva el ruido cuesta tanto de bajar: cada equipo nuevo suma apenas unos decibeles, pero cada uno de esos decibeles es intensidad de verdad llegando a un paciente que tendría que estar durmiendo.

El eco Doppler tiene dos efectos Doppler encadenados, y ésa es la idea del ejercicio. Primero, los glóbulos rojos reciben el ultrasonido mientras se acercan a la fuente: como receptor que se acerca, «oyen» una frecuencia mayor. Después lo reemiten hacia el transductor, y ahora son una fuente que se acerca: el transductor recibe una frecuencia mayor todavía.

Control con la fórmula aproximada, que vale porque la sangre va muchísimo más lento que el sonido: Δf ≈ 2·f₀·v / v_s = 2 · 4×10⁶ · 0,30 / 1570 = 1529 Hz ✓. Las dos dan lo mismo hasta el hertz.

Las otras: baja sería si la sangre se alejara; acercándose, los frentes de onda se apretan y la frecuencia sube. No cambia es la idea de que hace falta una fuente propia que se mueva: la sangre no emite, pero refleja, y un reflector en movimiento se comporta como una fuente en movimiento. Y 3,49 kHz junta los dos errores: un solo Doppler con la velocidad del aire.

Lo que el equipo hace en realidad es la cuenta al revés: mide Δf y despeja v = Δf·v_s / (2·f₀). Un corrimiento de 1,5 kHz sobre 4 MHz —menos de cuatro diezmilésimos— alcanza para saber a qué velocidad va la sangre por una arteria sin tocarla.