Biofísica (53) · Unidad 1 — Introducción a la biomecánica

Caída libre, tiro vertical y tasas de cambio

Sin aire, todo lo que se suelta o se tira para arriba es un MRUV con a = −10 m/s², pese lo que pese. Y la misma idea de «cuánto cambia algo por unidad de tiempo» sirve para una estatura, una población o un fármaco en sangre.

Practicar este tema →7 ejercicios que te corrigen paso a paso · gratis, sin cuenta

La explicación

La aceleración de la gravedad

Cerca de la superficie de la Tierra, un cuerpo que cae sin que el aire lo frene aumenta su velocidad unos 9,8 m/s en cada segundo, hacia abajo. En toda la materia se usa g = 10 m/s². Dos cosas que hay que tener claras desde el principio:

No depende de la masa. Una pluma y un martillo caen juntos en el vacío. En el aire la pluma queda atrás, pero por el rozamiento, no porque la gravedad la atraiga «menos rápido».
Es la misma subiendo, bajando y en el punto más alto. Lo que cambia es la velocidad; la aceleración vale siempre 10 m/s² hacia abajo.

En biología la gravedad se usa también como unidad: una centrífuga «de 5000 g» somete a las muestras a una aceleración de 5000 · 9,8 m/s², y un piloto que gira fuerte puede soportar unos pocos g antes de que la sangre se le vaya de la cabeza.

Las ecuaciones, con signos

Caída libre y tiro vertical son un MRUV más. Con el eje y positivo hacia arriba, la aceleración es a = −g = −10 m/s² siempre:

y(t) = y₀ + v₀·t − 5·t² · v(t) = v₀ − 10·t
v² − v₀² = −20 · (y − y₀)

v₀ es positiva si se lanza hacia arriba, negativa si se lanza hacia abajo, y cero si se suelta. Elegir otro sentido positivo también vale, pero entonces g cambia de signo con él. Lo que no vale es mezclar.

Tiro vertical: los tres datos que salen solos
1. Altura máxima: es donde v = 0. De ahí, t_subida = v₀ / g.
2. Cuánto sube: con v = 0 en la ecuación sin tiempo, h = v₀² / (2g).
3. Cuándo toca el piso: y(t) = 0 (o la altura del piso que corresponda). Es una cuadrática: una raíz es negativa o es el lanzamiento, y se descarta.
4. Control: la simetría. Si sale y vuelve a la misma altura, tarda lo mismo en subir que en bajar y vuelve con la misma rapidez, apuntando al revés.

Números para tener en la cabeza: soltado desde el reposo, un cuerpo cae 5 m en el primer segundo y 20 m en dos segundos (la distancia crece con t²), y llega a 10 m/s después de caer 5 m. Por eso una caída desde una camilla, de menos de un metro, ya llega al piso a unos 4 m/s.

Tasas de cambio: la misma idea, otra magnitud

La velocidad es la tasa de cambio de la posición: cuánto cambia x por unidad de tiempo. Nada obliga a que lo que cambia sea una posición. Para cualquier magnitud Q que varía con el tiempo:

tasa media = ΔQ / Δt · tasa instantánea = pendiente de la tangente al gráfico Q‑t

La velocidad de crecimiento de un chico, en cm/año: es la pendiente de la curva de estatura. Es alta en el primer año, baja y casi constante en la edad escolar, tiene un pico en el estirón de la pubertad y después cae a cero. Después de los 40 años pasa a ser negativa: se pierde estatura.
La tasa de crecimiento de una población, en individuos por hora o por año. Si la población se estabiliza, la tasa es cero, aunque haya muchos individuos.
La variación de la concentración de un fármaco en sangre, en mg/L por hora: positiva mientras se absorbe, negativa mientras se elimina.

Y vale lo mismo que en cinemática, al revés: si lo que se conoce es el gráfico de la tasa, el área bajo la curva es cuánto cambió la magnitud. El área bajo la velocidad de crecimiento entre los 6 y los 10 años son los centímetros que creció el chico en ese período.

Signo de la tasa: cómo cambia la magnitud (crece, decrece). Valor de la tasa: qué tan rápido. Área bajo la tasa: cuánto cambió en total. Es la cinemática, con otras unidades.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Desde un balcón a 15 m del piso se tira una pelota verticalmente hacia arriba con 10 m/s. Despreciá el aire. a) ¿Cuánto tarda en llegar al punto más alto y a qué altura del piso está ahí? b) ¿Cuándo vuelve a pasar por el balcón y con qué velocidad? c) ¿Cuándo llega al piso y con qué velocidad?

El sistema de referencia. Origen en el piso, positivo hacia arriba. Entonces y₀ = 15 m, v₀ = +10 m/s y a = −10 m/s².

y(t) = 15 + 10·t − 5·t² · v(t) = 10 − 10·t

a) El punto más alto es donde v = 0:

0 = 10 − 10·t → t = 1 s · y(1) = 15 + 10 − 5 = 20 m del piso

Subió 5 m por encima del balcón. Control con la ecuación sin tiempo: v₀²/(2g) = 100/20 = 5 m ✓.

b) Vuelve al balcón cuando y = 15 m:

15 = 15 + 10·t − 5·t² → 5·t·(2 − t) = 0 → t = 0 o t = 2 s

t = 0 es el lanzamiento. A los 2 s, v = 10 − 20 = −10 m/s: la misma rapidez con que salió, pero bajando. Es la simetría: 1 s para subir, 1 s para volver.

c) Llega al piso cuando y = 0:

0 = 15 + 10·t − 5·t² → dividiendo por −5: t² − 2·t − 3 = 0
t = [2 ± √(4 + 12)] / 2 = (2 ± 4) / 2 → t = 3 s (la otra, −1 s, se descarta)
v(3) = 10 − 30 = −20 m/s

Control por otro camino. Desde el punto más alto (20 m, v = 0) cae libremente: 20 = 5·t² → t = 2 s de caída, más 1 s de subida, 3 s ✓. Y llega con v² = 2 · 10 · 20 = 400 → 20 m/s ✓.

Dónde se pierde el punto: en poner y₀ = 0 porque «se tira desde el balcón». El origen está en el piso, así que la pelota arranca en 15 m. Con y₀ = 0 la pelota «llega al piso» a los 2 s, que es en realidad cuando vuelve a pasar por el balcón.

Y uno del nivel del parcial

La tasa de crecimiento de un cultivo de bacterias vale 400 bacterias por hora, constante, durante las primeras 3 h. Después disminuye de modo uniforme hasta cero a las 5 h, y de ahí en adelante se mantiene en cero. Al principio había 2000 bacterias. a) ¿Cuántas hay a las 3 h? b) ¿Y a las 5 h? c) ¿Qué pasa con la población después de las 5 h? d) ¿Cuándo crece más rápido?

La idea. Si lo que se conoce es la tasa, el cambio de la población es el área bajo el gráfico de la tasa, igual que el desplazamiento es el área bajo v‑t.

a) De 0 a 3 h la tasa es constante: el área es un rectángulo.

ΔN = 400 bact/h · 3 h = 1200 · N(3) = 2000 + 1200 = 3200 bacterias

b) De 3 a 5 h la tasa baja en línea recta de 400 a 0: el área es un triángulo.

ΔN = ½ · 2 h · 400 bact/h = 400 · N(5) = 3200 + 400 = 3600 bacterias

c) Después de las 5 h la tasa es cero: la población no cambia, se queda en 3600. Tasa cero no es población cero: es población estable. Es lo que pasa cuando el cultivo llega a lo que el medio puede sostener.

d) Crece más rápido donde la tasa es mayor: entre 0 y 3 h, a 400 bacterias por hora. Ojo: entre 3 y 5 h la población sigue creciendo, aunque cada vez más despacio. Que la tasa baje no quiere decir que la población baje; para eso la tasa tendría que ser negativa.

En el gráfico de N‑t esto se ve como una recta que sube hasta las 3 h, una curva que se va aplanando hasta las 5 h y una horizontal después. Es exactamente la forma de x‑t de un móvil que va a velocidad constante, frena y se detiene.

Dónde se cae la mayoría

Poner a = 0 en el punto más alto. Ahí la velocidad es cero; la aceleración sigue siendo −10 m/s².
Usar g con el signo equivocado para el sistema de referencia elegido: con positivo hacia arriba, a = −10 m/s², también cuando el cuerpo sube.
Olvidarse de la altura inicial cuando se lanza desde un balcón o un trampolín: y₀ no es cero.
Creer que un cuerpo más pesado cae más rápido. Sin aire, todos caen con la misma aceleración.
Confundir una tasa cero con una magnitud cero: una población estable tiene muchos individuos y tasa de crecimiento nula.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

Practicar Caída libre, tiro vertical y tasas de cambio →

Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — El test de salto vertical20 puntos · resuelto paso a paso

Los otros temas de la unidad 1

Introducción a la biomecánica

Ver todos los temas de Biofísica