Biofísica (53) · Unidad 3 — La termodinámica de los seres vivos
Evoluciones de un gas ideal y el diagrama p‑V
En el diagrama p‑V cada punto es un estado del gas y cada línea una evolución. El trabajo es el área bajo la línea, la energía interna sale de p·V, y con esas dos cosas el primer principio da el calor.
La explicación
Cada punto es un estado
El estado de un gas ideal queda fijado por su presión y su volumen, porque la temperatura sale de la ecuación de estado:
Por eso en un gráfico de p contra V cada punto es un estado, y leer T es leer el producto p·V: los puntos con el mismo p·V están a la misma temperatura. Una línea que une dos puntos es una evolución, y sólo tiene sentido dibujarla si el gas pasa por estados de equilibrio en todo el camino, o sea si la evolución es reversible (muy lenta, sin turbulencias ni saltos).
La energía interna del gas ideal
En un gas ideal U es función de T y de nada más, y por eso su cambio se calcula siempre igual, sea cual sea la evolución:
Para gases diatómicos, como el aire, cv = 5/2·R y cp = 7/2·R. En los dos casos cp − cv = R: a presión constante hace falta más calor por grado, porque una parte se va en trabajo de expansión.
Un atajo que ahorra muchísimas cuentas: como n·R·ΔT = Δ(p·V), para un gas monoatómico ΔU = 3/2 · Δ(p·V). Con p en kPa y V en litros, p·V sale directamente en joules. No hace falta conocer ni n ni T.
Las cuatro evoluciones
isocórica (V constante): L = 0 · Q = ΔU = n·cv·ΔT
isotérmica (T constante): ΔU = 0 · Q = L = n·R·T·ln(Vf/Vi)
adiabática (sin calor): Q = 0 · ΔU = −L
En el diagrama, la isobárica es una recta horizontal y la isocórica una vertical. La isoterma es una curva donde p·V no cambia: si el volumen se duplica, la presión baja a la mitad. La adiabática cae más empinada que la isoterma: al expandirse el gas hace trabajo sin recibir calor, gasta energía interna y se enfría, así que su presión baja más. Por eso el gas de una garrafa que se descarga rápido se enfría, y la válvula llega a escarcharse.
El trabajo es un área
El trabajo del gas es el área debajo de la línea, entre la línea y el eje de los volúmenes. Si la evolución va hacia la derecha (el volumen crece) el trabajo es positivo; si va hacia la izquierda, negativo. Entre los mismos dos estados, caminos distintos encierran áreas distintas: el trabajo depende del camino, y el calor también.
En un ciclo el gas vuelve al estado inicial, así que ΔU = 0 y Q = L. El trabajo neto es el área encerrada por el ciclo: positivo si se recorre en sentido horario (el gas entrega trabajo: es un motor) y negativo si se recorre en sentido antihorario (el entorno trabaja sobre el gas).
2. Para cada tramo: L es el área bajo la línea, con su signo; ΔU = 3/2·Δ(p·V) si el gas es monoatómico.
3. Q = ΔU + L, tramo por tramo.
4. Controles: la suma de los ΔU del ciclo da cero, y la suma de los Q da igual a la de los L.
El corazón también dibuja un ciclo
Si se grafica la presión del ventrículo izquierdo contra su volumen durante un latido, sale un lazo cerrado: se llena a presión baja, se contrae con las válvulas cerradas (sube la presión sin cambiar el volumen, como una isocórica), expulsa la sangre a presión alta y se relaja. El área de ese lazo es el trabajo que hace el ventrículo en cada latido: alrededor de 1 J. Multiplicado por unos 70 latidos por minuto da una potencia del orden de 1 W. Es la misma cuenta que la del gas en un cilindro, con el músculo cardíaco haciendo de pistón.
Del diagrama salen dos cosas sin fórmulas: el trabajo, que es el área, y la temperatura, que es p·V. El calor nunca se lee directo del dibujo: sale del primer principio, Q = ΔU + L.
0,4 mol de un gas ideal monoatómico se calientan a presión constante de 200 kPa, desde 300 K hasta 450 K. a) ¿Qué volumen ocupa al principio y al final? b) ¿Cuánto cambia su energía interna? c) ¿Cuánto trabajo hace? d) ¿Cuánto calor recibe? (R = 8,31 J/(mol·K); c_v = 3/2·R; c_p = 5/2·R)
a) Los volúmenes, de la ecuación de estado.
V2 = 0,4 · 8,31 · 450 / 200 000 ≈ 0,00748 m³ ≈ 7,48 L
A presión constante el volumen crece en la misma proporción que la temperatura absoluta: 450/300 = 1,5 y 7,48/4,99 = 1,5 ✔.
b) La energía interna. Siempre con cv:
c) El trabajo, que es el área del rectángulo.
También sale como n·R·ΔT = 0,4 · 8,31 · 150 = 498,6 J, porque a presión constante p·ΔV = n·R·ΔT.
d) El calor, del primer principio.
Si en b) hubieras usado cp, te daría 1246,5 J para ΔU: el calor, no la energía interna. Es el error más repetido del tema, y el control de arriba lo desenmascara.
Un gas ideal monoatómico recorre el ciclo ABCA en forma reversible: de A (2 L; 300 kPa) a B (6 L; 300 kPa) a presión constante; de B a C (6 L; 100 kPa) a volumen constante; y de C vuelve a A por una isoterma. Calculá el trabajo, la variación de energía interna y el calor en cada tramo y en el ciclo.
Primero la tabla de p·V (kPa · L = J). Como A y C tienen el mismo p·V, están a la misma temperatura: por eso CA puede ser una isoterma.
AB, isobárica. El trabajo es p·ΔV y, para un monoatómico, ΔU = 3/2·Δ(p·V):
Q = ΔU + L = 1800 + 1200 = 3000 J
BC, isocórica. Sin cambio de volumen no hay trabajo:
CA, isotérmica. A temperatura constante la energía interna no cambia, y todo el trabajo sale como calor:
El ciclo. Se suman los tres tramos:
ΔU = 1800 − 1800 + 0 = 0
Q = 3000 − 1800 − 659,2 = 540,8 J
Los dos controles cierran: ΔU del ciclo es cero y Q = L ✔. El trabajo es positivo porque el ciclo va en sentido horario: arriba se expande a presión alta y vuelve comprimiéndose a presiones más bajas.
Dónde se pierde el punto: en la isoterma, poner ln(6/2) en vez de ln(2/6): la compresión tiene trabajo negativo. Y en la isocórica, decir «no hay trabajo, entonces no hay calor»: no hay trabajo, pero la energía interna baja 1800 J, y se van como calor.
Dónde se cae la mayoría
- Leer el calor como el área bajo la curva. El área es el trabajo; el calor sale de Q = ΔU + L.
- Usar c_p para calcular ΔU en una evolución a presión constante. ΔU es siempre n·c_v·ΔT, sea cual sea la evolución; c_p sirve para el calor de una isobárica.
- Creer que en una isotérmica no hay calor. Lo que es cero es ΔU; el calor es igual al trabajo, y puede ser grande.
- Mezclar unidades: kPa con m³ da mil veces más, Pa con litros mil veces menos. kPa por litro da joules.
- Olvidarse del signo del trabajo en una compresión o en un ciclo antihorario. Hacia la izquierda en el diagrama, el trabajo del gas es negativo.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Evoluciones de un gas ideal y el diagrama p‑V →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — El helio del heliox10 puntos · resuelto paso a paso
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