Tercer parcial de Análisis I, resuelto paso a paso

a) La señal es la raíz en el exponente: se sustituye lo que molesta.

La opción de arrancar por partes no es sólo más larga: es que no se puede, porque no sabés integrar ni derivar cómodamente e^(√x) tal como está. Primero se limpia con la sustitución, después se elige el método.

b) Acá se juega el ejercicio entero. Es una integral definida, así que los límites son valores de x y hay que traducirlos a valores de t:

La integral queda: I = ∫ de 0 a 2 de 2t·e^t dt.

c) En partes, u es lo que se simplifica al derivar y dv lo que sabés integrar. El polinomio 2t derivado da 2 (se achica) y e^t integrado sigue siendo e^t (no empeora):

Al revés (u = e^t, dv = 2t dt) te queda una integral con t², que es peor que la que tenías. Esa es la señal de que elegiste mal: no está prohibido, está perdido.

d) Barrow con los límites nuevos:

Control sin hacer la cuenta fina: la curva e^(√x) va de 1 hasta e² ≈ 7,39 sobre un intervalo de ancho 4, así que el área tiene que caer entre 4 y 29,6. 16,78 está adentro ✓

Control por el otro camino, verificando la primitiva: derivando G(t) = 2e^t(t − 1) con la regla del producto queda 2e^t(t − 1) + 2e^t = 2t·e^t, que es el integrando ✓. Ese chequeo cuesta diez segundos y salva el ejercicio.

e) Calculó la integral de e^(√x) entre 0 y 16. Y esto es lo que hace peligrosa la trampa: no tira error, no da un absurdo, da un número perfectamente presentable. Si t va de 0 a 4, entonces x = t² va de 0 a 16: dejar los límites viejos no es "olvidarse de un paso", es cambiar el problema.

Hay dos maneras de blindarse, y las dos valen igual: o cambiás los límites al sustituir, o volvés a la variable original antes de evaluar (I = [2e^(√x)(√x − 1)] entre 0 y 4, que da lo mismo). Lo que no se puede es mezclar: variable nueva con límites viejos.

Control de orden de magnitud: 329,59 para una curva que sobre [0, 4] nunca pasa de 7,39 es imposible, porque el máximo concebible es 4·7,39 ≈ 29,6. Mirar si el número puede existir es gratis y detecta esta clase de error.

f) Acá no hay que integrar nada: es el Teorema Fundamental con el límite superior variable, más regla de la cadena porque ese límite es x² y no x.

Los dos errores clásicos del ítem: olvidarse del 2x de la cadena (daría e, la mitad) y, cuando la variable está en el límite inferior, no cambiar el signo.

a) Antes de integrar, siempre: dónde se cortan.

El error de arranque es pasar todo dividiendo por x: eso te come la raíz x = 0, que es justo la que parte la región en dos. Se factoriza, no se divide por algo que puede ser cero.

b) Se decide evaluando en un punto cualquiera de adentro del tramo, por ejemplo x = 1:

Y como entre 0 y 2 no hay más cortes, no puede cambiar: para que se dieran vuelta tendrían que cruzarse otra vez.

c) Área = integral de (la de arriba − la de abajo):

Control grosero: el lóbulo entra en el rectángulo de base 2 y altura 8, o sea 16, y le sobra bastante. 4 es plausible ✓

d) El otro lóbulo va de −2 a 0, y ahí la que manda es la cúbica (en x = −1: la cúbica vale −1, la recta −4). Así que hay que dar vuelta la resta:

Que los dos den 4 no es casualidad: las dos funciones son impares, así que la región es simétrica respecto del origen.

e) Esta es la trampa del ejercicio, y es la que más nota se lleva puesta en el parcial. La respuesta es la primera: en (−2, 0) la de arriba es la cúbica, así que (4x − x³) es negativa ahí y ese tramo aporta −4. Sumado al +4 del otro lado, da 0.

Lo que la integral definida devuelve es el área con signo, no el área. Y como 4x − x³ es una función impar, sobre cualquier intervalo simétrico se cancela sola, sin que haga falta que la cuenta esté mal en ningún paso. Por eso el 0 se entrega tranquilo: cierra.

La regla, en una línea: un área nunca da negativa y nunca da cero si la región tiene interior. Si te da eso, no revises la aritmética — revisá en qué tramo invertiste la resta. La receta segura son tres pasos, siempre en este orden: hallar todas las intersecciones, partir el intervalo en tramos, y en cada tramo decidir con un punto de prueba cuál función va arriba.

Por qué las otras opciones no son: "toda integral sobre un intervalo simétrico da 0" es falso —probá con x², que da 16/3—; la constante de integración se cancela sola al restar en Barrow, nunca cambia el resultado; e integrar (x³ − 4x) de −2 a 2 también da 0, porque es la misma función cambiada de signo.

a) El radio sale del criterio del cociente sobre el valor absoluto, planteando que el límite sea menor que 1:

El factor n/(n+1) tiende a 1 y se va: los factores polinómicos no cambian el radio, sólo deciden qué pasa en los bordes. Pidiendo que el límite sea menor que 1:

O sea que el intervalo abierto es (2 − 3, 2 + 3) = (−1, 5), y los dos extremos quedan pendientes.

b) En x = 5, la potencia (x − 2)ⁿ vale 3ⁿ, que se simplifica entero con el 3ⁿ de abajo:

Acá se juega un concepto entero de la unidad: los términos 1/n sí tienden a 0, y la serie diverge igual. Que a_n → 0 es condición necesaria pero no suficiente, y la armónica es el contraejemplo obligatorio. Sus sumas parciales crecen como ln(N): despacio, pero sin techo — con un millón de términos recién van por 14.

c) En x = −1, la potencia (x − 2)ⁿ vale (−3)ⁿ, que se simplifica igual pero deja el signo:

Leibniz pide dos cosas y las dos se cumplen: el módulo 1/n decrece y tiende a 0. (Su suma, de yapa, es −ln 2 ≈ −0,693.)

Y ahí está la trampa del ejercicio: es exactamente la misma serie de potencias, y los dos extremos se comportan al revés uno del otro. Por eso el criterio del cociente no sirve en los bordes —en x = −1 y en x = 5 da 1 clavado, que es el caso en que "no decide"— y por eso hay que reemplazar cada extremo a mano y estudiarlo como serie numérica. Contestar los dos iguales, sea "converge" o "diverge", es la forma más común de perder medio ejercicio.

d) Converge adentro, converge en −1, diverge en 5:

La respuesta completa son las dos cosas: el radio y el intervalo, con los corchetes bien puestos. Corchete donde converge, paréntesis donde no.

e) Geométrica. La fórmula que no falla no es 1/(1 − r), que sólo vale arrancando en n = 0, sino:

Si contestaste 3/2, te pasó lo de siempre: usaste 1/(1 − 1/3), que incluye el término n = 0. Ese término vale (1/3)⁰ = 1, y 3/2 − 1 = 1/2 ✓ — la diferencia entre las dos respuestas es exactamente el término que sobra.

Control por sumas parciales: 1/3 = 0,333; +1/9 = 0,444; +1/27 = 0,481; +1/81 = 0,494… se apoya contra 0,5 sin pasarse, como muestra el dibujo.

El ejercicio es un sándwich, y el sándwich se arma en tres movimientos: calcular el límite de la cota de abajo, calcular el de la cota de arriba, ver que dan lo mismo, y recién ahí concluir sobre cₙ. Si los dos no coinciden, el teorema no dice absolutamente nada.

a) La base (2n+3)/(2n−1) tiende a 1 (mismo grado arriba y abajo, mismo coeficiente principal) y el exponente se va a infinito: la forma es 1 elevado a ∞.

No es ∞/∞: eso sería el interior de la fracción si no estuviera elevado. Y la trampa de la forma 1^∞ es que parece que da 1 —"uno elevado a lo que sea es uno"— y no da 1 nunca, salvo casualidad. Por eso es indeterminada.

b) Se resta y se suma 1 en la base:

Así que la base es 1 + 4/(2n−1). Control rápido con n = 3: (9/5) − 1 = 4/5, y 4/(2·3−1) = 4/5 ✓

c) Ahora se fabrica la forma del número e, que es (1 + 1/mₙ)^mₙ con mₙ → ∞. Acá 1/mₙ = 4/(2n−1), o sea mₙ = (2n−1)/4:

El corchete tiende a e. El exponente de afuera, 4n/(2n−1), tiende a 2. Entonces el límite es e².

Control por otro camino, tomando logaritmo: ln(aₙ) = n·ln(1 + 4/(2n−1)). Como 4/(2n−1) → 0 y ln(1+t) ≈ t cerca del cero, ln(aₙ) ≈ n·4/(2n−1) → 2, así que aₙ → e². Con n = 10.000.000 la cuenta da 1,9999999 ✓

Acá está el error más repetido del ejercicio 1. Muchos miran el +3 de arriba, lo dividen por el 2 que acompaña a la n y contestan e^3/2. Pero el −1 del denominador también aporta: en general, ((an+b)/(an−c))ⁿ → e^(b+c)/a. Acá a = 2, b = 3, c = 1, y (3+1)/2 = 2. La diferencia no es cosmética: e² ≈ 7,39 y e^3/2 ≈ 4,48. Mirá la animación — el primer término de la sucesión ya vale 5, así que el límite no puede ser 4,48.

d) Es una indeterminación ∞ − ∞, y se rompe multiplicando y dividiendo por el conjugado:

Ahora se divide arriba y abajo por n. Abajo queda √(1 + 6/n) + 1 → 2, y arriba queda 6:

Control numérico: con n = 10⁹ la resta da 3,000 ✓ Y ojo con el paso de dividir por n adentro de la raíz: vale porque n es positivo. Cuando la variable se va a −∞ hay que acordarse de que √(x²) = |x| — es el error de signo clásico del tema, aunque acá, con n natural, no aparece.

Entonces la cota de abajo tiende a e² + 3 − 3 = e².

e) Acá no hay que calcular el límite de cos n, que no existe: hay que acotarlo. Como −1 ≤ cos n ≤ 1, sumando 2:

Los dos extremos tienden a 0, así que (2 + cos n)/n → 0. Es el caso "cero por acotado": algo que tiende a cero multiplicado por algo que no se escapa.

Al dividir por n las desigualdades no se dan vuelta porque n es positivo. Si el factor fuera negativo habría que invertirlas, y las cotas se intercambian.

Entonces la cota de arriba tiende a e² + 0 = e².

f) Las dos cotas tienden a e². Por el teorema del sándwich,

Dos cosas que en el parcial de papel se cobran y acá no se ven:

· Hay que decir que es el sándwich. Escribir "e²" solo no puntúa: la consigna pide justificar, y el teorema es la justificación.

· Hay que verificar las dos hipótesis, no una: que la desigualdad vale (te la da el enunciado, para todo n ≥ 1) y que las dos cotas van al mismo límite. Si una fuera a e² y la otra a e³, el teorema no concluiría nada y habría que decirlo.

Y algo que casi nunca se aclara: el enunciado no dice quién es cₙ, y no hace falta. El sándwich es exactamente la herramienta para las sucesiones que no se pueden calcular pero sí encerrar.